Страница 25 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Сформулируйте правило треугольника и правило параллелограмма сложения векторов.

2. Покажите, что правило параллелограмма не зависит от выбора точки, от которой откладываются слагаемые.

3. Какими свойствами обладает сумма векторов?

4. Как определяется разность векторов?

5. Какие векторы называются противоположными?

6. Как можно разложить вектор на сумму составляющих по двум пересекающимся прямым?

1. Сформулируйте правило треугольника и правило параллелограмма сложения векторов.

Сложение векторов — это операция нахождения вектора, который является суммой нескольких векторов. Существуют два основных геометрических правила для сложения двух векторов: правило треугольника и правило параллелограмма.

Правило треугольника:
Чтобы сложить два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$, нужно от конца первого вектора ($\vec{a}$) отложить второй вектор ($\vec{b}$). Тогда вектор суммы ($\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$) будет направлен от начала первого вектора к концу второго. Если вектор $\vec{a}$ представлен отрезком $\vec{AB}$, а вектор $\vec{b}$ — отрезком $\vec{BC}$, то их сумма $\vec{c}$ будет вектором $\vec{AC}$. Таким образом, $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.

Правило параллелограмма:
Чтобы сложить два неколлинеарных вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$, нужно отложить их от одной общей точки. Затем на этих векторах как на сторонах строят параллелограмм. Вектор суммы ($\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$) является диагональю этого параллелограмма, исходящей из общей начальной точки векторов.

Ответ: Правило треугольника заключается в последовательном откладывании векторов, где сумма — вектор, соединяющий начало первого и конец второго. Правило параллелограмма заключается в построении параллелограмма на векторах, отложенных из одной точки, где сумма — диагональ, выходящая из этой же точки.

2. Покажите, что правило параллелограмма не зависит от выбора точки, от которой откладываются слагаемые.

Вектор в геометрии (свободный вектор) определяется только своим модулем (длиной) и направлением. Его начальная точка может быть выбрана произвольно в пространстве. Два вектора считаются равными, если они сонаправлены и их длины равны.

Пусть у нас есть два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Чтобы найти их сумму по правилу параллелограмма, мы выбираем произвольную начальную точку $O$ и откладываем от нее векторы $\vec{OA} = \vec{a}$ и $\vec{OB} = \vec{b}$. Затем мы строим параллелограмм $OACB$, и его диагональ $\vec{OC}$ является суммой $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$.

Теперь выберем другую произвольную начальную точку $O'$. Отложим от нее те же самые векторы: $\vec{O'A'} = \vec{a}$ и $\vec{O'B'} = \vec{b}$. Поскольку векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не изменились, то $\vec{OA} = \vec{O'A'}$ и $\vec{OB} = \vec{O'B'}$. Это означает, что отрезок $OA$ параллелен и равен по длине отрезку $O'A'$, а отрезок $OB$ параллелен и равен по длине отрезку $O'B'$.

Следовательно, параллелограмм $OACB$, построенный на векторах $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$, будет конгруэнтен (равен) параллелограмму $O'A'C'B'$, построенному на векторах $\vec{O'A'}$ и $\vec{O'B'}$. Фигуру $O'A'C'B'$ можно получить из $OACB$ путем параллельного переноса на вектор $\vec{OO'}$.

При этом переносе диагональ $\vec{OC}$ перейдет в диагональ $\vec{O'C'}$. А это значит, что вектор $\vec{OC}$ равен вектору $\vec{O'C'}$, так как они имеют одинаковую длину и одинаковое направление.

Таким образом, результирующий вектор суммы $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ является одним и тем же свободным вектором, независимо от выбора начальной точки $O$.

Ответ: Результат сложения векторов по правилу параллелограмма не зависит от выбора начальной точки, так как вектор определяется только длиной и направлением, а не положением в пространстве. Любые два параллелограмма, построенные на равных векторах, будут равны и дадут в результате равные векторы-диагонали.

3. Какими свойствами обладает сумма векторов?

Операция сложения векторов обладает следующими основными свойствами, аналогичными свойствам сложения чисел:

1. Коммутативность (переместительное свойство): От перестановки слагаемых-векторов сумма не меняется.
$ \vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a} $
Это свойство легко увидеть из правила параллелограмма: неважно, какой вектор считать первой стороной, а какой — второй, диагональ-сумма будет той же самой.

2. Ассоциативность (сочетательное свойство): Результат сложения трех и более векторов не зависит от порядка, в котором производится сложение.
$ (\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c}) $
Это свойство является основой для правила многоугольника сложения векторов.

3. Существование нулевого вектора: Существует такой вектор, называемый нулевым вектором ($\vec{0}$), сложение с которым не изменяет исходный вектор. Нулевой вектор имеет нулевую длину, а его направление не определено.
$ \vec{a} + \vec{0} = \vec{a} $

4. Существование противоположного вектора: Для каждого вектора $\vec{a}$ существует противоположный ему вектор $-\vec{a}$, такой, что их сумма равна нулевому вектору. Противоположный вектор имеет ту же длину, что и исходный, но направлен в противоположную сторону.
$ \vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0} $

Ответ: Сумма векторов обладает свойствами коммутативности, ассоциативности, существования нулевого элемента (нулевой вектор) и существования противоположного элемента (противоположный вектор).

4. Как определяется разность векторов?

Разностью двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется такой вектор $\vec{c}$, который в сумме с вектором $\vec{b}$ дает вектор $\vec{a}$.
$ \vec{c} = \vec{a} - \vec{b} \iff \vec{c} + \vec{b} = \vec{a} $

Алгебраически разность векторов определяется как сумма первого вектора и вектора, противоположного второму:
$ \vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b}) $

Геометрически разность векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ можно найти следующим образом:
1. Отложить векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ от одной общей точки $O$. Пусть $\vec{OA} = \vec{a}$ и $\vec{OB} = \vec{b}$.
2. Вектор разности $\vec{a} - \vec{b}$ будет вектором, соединяющим конец вектора-вычитаемого ($\vec{b}$) с концом вектора-уменьшаемого ($\vec{a}$). То есть, это вектор $\vec{BA}$.

Ответ: Разность векторов $\vec{a} - \vec{b}$ — это вектор, равный сумме вектора $\vec{a}$ и вектора, противоположного $\vec{b}$. Геометрически это вектор, идущий от конца вектора $\vec{b}$ к концу вектора $\vec{a}$, если они отложены из одной точки.

5. Какие векторы называются противоположными?

Два ненулевых вектора называются противоположными, если они имеют равные модули (длины) и противоположные направления.

Основные свойства противоположных векторов:

• Они коллинеарны, то есть лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
• Вектор, противоположный вектору $\vec{a}$, обозначается как $-\vec{a}$.
• Если вектор задан начальной и конечной точками, например $\vec{AB}$, то противоположный ему вектор будет $\vec{BA}$. То есть, $\vec{AB} = - \vec{BA}$.
• Сумма вектора и его противоположного вектора равна нулевому вектору: $\vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0}$.

Ответ: Противоположными называются векторы, имеющие одинаковую длину, но направленные в противоположные стороны.

6. Как можно разложить вектор на сумму составляющих по двум пересекающимся прямым?

Любой вектор на плоскости можно единственным образом разложить на два слагаемых (составляющих или компонент), параллельных двум заданным пересекающимся прямым.

Пусть дан вектор $\vec{c}$ и две пересекающиеся в точке $O$ прямые $l_1$ и $l_2$. Чтобы разложить вектор $\vec{c}$ на составляющие, параллельные этим прямым, нужно выполнить следующее построение:

1. Перенести вектор $\vec{c}$ так, чтобы его начало совпало с точкой пересечения прямых $O$. Пусть конец вектора будет в точке $C$, тогда $\vec{c} = \vec{OC}$.
2. Через точку $C$ (конец вектора) провести прямую, параллельную прямой $l_2$, до ее пересечения с прямой $l_1$ в точке $A$.
3. Через точку $C$ провести прямую, параллельную прямой $l_1$, до ее пересечения с прямой $l_2$ в точке $B$.

В результате мы получим параллелограмм $OACB$. По правилу параллелограмма сложения векторов, $\vec{OC} = \vec{OA} + \vec{OB}$.
Векторы $\vec{c}_1 = \vec{OA}$ и $\vec{c}_2 = \vec{OB}$ являются искомыми составляющими (компонентами) вектора $\vec{c}$. Вектор $\vec{c}_1$ лежит на прямой $l_1$ (или параллелен ей), а вектор $\vec{c}_2$ лежит на прямой $l_2$ (или параллелен ей).
Таким образом, $\vec{c} = \vec{c}_1 + \vec{c}_2$.

Ответ: Для разложения вектора $\vec{c}$ по двум пересекающимся прямым нужно отложить его из точки их пересечения, а затем из конца вектора $\vec{c}$ провести прямые, параллельные заданным, до пересечения с ними. Полученные векторы, идущие от точки пересечения до точек на прямых, и будут искомыми составляющими.