Страница 28 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.31. Упростите выражение:

1) $(\vec{AB} + \vec{BC} - \vec{MC}) + (\vec{MD} - \vec{KD});$

2) $(\vec{CD} + \vec{BD} + \vec{AC}) - (\vec{NK} + \vec{KD}),$ применяя метод последовательного сложения векторов.

1) Для упрощения выражения $(\vec{AB} + \vec{BC} - \vec{MC}) + (\vec{MD} - \vec{KD})$ воспользуемся правилами сложения и вычитания векторов.

Раскроем скобки и преобразуем вычитание в сложение с противоположным вектором (используя правило $-\vec{XY} = \vec{YX}$):

$(\vec{AB} + \vec{BC} - \vec{MC}) + (\vec{MD} - \vec{KD}) = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CM} + \vec{MD} + \vec{DK}$

Теперь мы можем последовательно сложить векторы, используя правило треугольника (правило Шаля: $\vec{PQ} + \vec{QR} = \vec{PR}$), так как конец каждого предыдущего вектора является началом следующего:

1. $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$

2. $\vec{AC} + \vec{CM} = \vec{AM}$

3. $\vec{AM} + \vec{MD} = \vec{AD}$

4. $\vec{AD} + \vec{DK} = \vec{AK}$

Таким образом, всё выражение упрощается до вектора $\vec{AK}$.

Ответ: $\vec{AK}$

2) Упростим выражение $(\vec{CD} + \vec{BD} + \vec{AC}) - (\vec{NK} + \vec{KD})$, применяя метод последовательного сложения векторов.

Сначала раскроем скобки. Вычитание суммы векторов равносильно вычитанию каждого вектора из этой суммы:

$(\vec{CD} + \vec{BD} + \vec{AC}) - (\vec{NK} + \vec{KD}) = \vec{CD} + \vec{BD} + \vec{AC} - \vec{NK} - \vec{KD}$

Заменим вычитание векторов сложением с противоположными им векторами ($-\vec{XY} = \vec{YX}$):

$\vec{CD} + \vec{BD} + \vec{AC} + \vec{KN} + \vec{DK}$

Для применения метода последовательного сложения (правила многоугольника), переставим векторы так, чтобы они образовали непрерывную цепь:

$\vec{AC} + \vec{CD} + \vec{DK} + \vec{KN} + \vec{BD}$

Теперь последовательно сложим первые четыре вектора в цепи:

$(\vec{AC} + \vec{CD}) + \vec{DK} + \vec{KN} = \vec{AD} + \vec{DK} + \vec{KN}$

$(\vec{AD} + \vec{DK}) + \vec{KN} = \vec{AK} + \vec{KN}$

$\vec{AK} + \vec{KN} = \vec{AN}$

Сумма первых четырех векторов равна $\vec{AN}$. Теперь добавим к результату оставшийся вектор $\vec{BD}$:

$\vec{AN} + \vec{BD}$

Дальнейшее упрощение этого выражения невозможно без дополнительной информации о взаимном расположении точек. Следовательно, это и есть итоговый упрощенный вид.

Ответ: $\vec{AN} + \vec{BD}$

1.32. В треугольнике ABC $\vec{AB}=\vec{a}$ и $\vec{AC}=\vec{b}$. Выразите:

1) $\vec{BA}$;

2) $\vec{CB}$;

3) $\vec{CB} + \vec{BA}$ через векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

В данной задаче нам дан треугольник ABC и два вектора, которые определены на его сторонах: $\overrightarrow{AB} = \vec{a}$ и $\overrightarrow{AC} = \vec{b}$. Нам нужно выразить другие векторы, связанные с этим треугольником, через базисные векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

1) $\overrightarrow{BA}$

Вектор $\overrightarrow{BA}$ имеет то же направление, что и отрезок BA, но его начало в точке B, а конец в точке A. Вектор $\overrightarrow{AB}$ имеет начало в точке A и конец в точке B. Таким образом, вектор $\overrightarrow{BA}$ является противоположным вектору $\overrightarrow{AB}$. Противоположный вектор обозначается знаком минус.

$\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$

Поскольку по условию задачи $\overrightarrow{AB} = \vec{a}$, мы можем подставить это значение:

$\overrightarrow{BA} = -\vec{a}$

Ответ: $\overrightarrow{BA} = -\vec{a}$.

2) $\overrightarrow{CB}$

Для нахождения вектора $\overrightarrow{CB}$ воспользуемся правилом сложения векторов для сторон треугольника. Векторы, образующие замкнутый контур, в сумме дают нулевой вектор ($\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = \vec{0}$), или же можно использовать правило треугольника (правило Шаля): $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AB}$.

Выразим из этого соотношения искомый вектор $\overrightarrow{CB}$:

$\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}$

Теперь подставим данные в условии векторы $\overrightarrow{AB} = \vec{a}$ и $\overrightarrow{AC} = \vec{b}$:

$\overrightarrow{CB} = \vec{a} - \vec{b}$

Ответ: $\overrightarrow{CB} = \vec{a} - \vec{b}$.

3) $\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BA}$

Для нахождения этой суммы векторов можно пойти двумя путями.

Способ 1: Использование правила сложения векторов (правило Шаля). Если начало второго вектора ($\overrightarrow{BA}$) совпадает с концом первого вектора ($\overrightarrow{CB}$), то их суммой будет вектор, соединяющий начало первого вектора (C) с концом второго (A).

$\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CA}$

Вектор $\overrightarrow{CA}$ является противоположным вектору $\overrightarrow{AC}$.

$\overrightarrow{CA} = -\overrightarrow{AC}$

Так как по условию $\overrightarrow{AC} = \vec{b}$, то $\overrightarrow{CA} = -\vec{b}$.

Следовательно, $\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BA} = -\vec{b}$.

Способ 2: Использование результатов, полученных в предыдущих пунктах.

Из пункта 1 мы знаем, что $\overrightarrow{BA} = -\vec{a}$.

Из пункта 2 мы знаем, что $\overrightarrow{CB} = \vec{a} - \vec{b}$.

Сложим эти два вектора:

$\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BA} = (\vec{a} - \vec{b}) + (-\vec{a}) = \vec{a} - \vec{b} - \vec{a} = -\vec{b}$

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: $\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BA} = -\vec{b}$.

1.33. Точки H и N являются серединами сторон AB и AC соответственно треугольника ABC. Выразите векторы $ \overrightarrow{AN} $, $ \overrightarrow{NC} $, $ \overrightarrow{HN} $, $ \overrightarrow{BN} $ через векторы $ \vec{a} = \overrightarrow{AH} $ и $ \vec{b} = \overrightarrow{AN} $.

По условию задачи, в треугольнике $ABC$ точки $H$ и $N$ являются серединами сторон $AB$ и $AC$ соответственно. Введены базисные векторы: $\vec{a} = \vec{AH}$ и $\vec{b} = \vec{AN}$. Необходимо выразить векторы $\vec{AN}$, $\vec{NC}$, $\vec{HN}$, $\vec{BN}$ через $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

$\vec{AN}$ Согласно условию задачи, вектор $\vec{b}$ определен как $\vec{b} = \vec{AN}$. Следовательно, выражение для вектора $\vec{AN}$ уже дано. Ответ: $\vec{AN} = \vec{b}$.

$\vec{NC}$ Точка $N$ является серединой стороны $AC$. Это означает, что она делит отрезок $AC$ на два равных отрезка $AN$ и $NC$. Векторы, соответствующие этим отрезкам и имеющие одинаковое направление (от $A$ к $C$), равны: $\vec{AN} = \vec{NC}$. Поскольку по условию $\vec{AN} = \vec{b}$, то и $\vec{NC} = \vec{b}$. Ответ: $\vec{NC} = \vec{b}$.

$\vec{HN}$ Рассмотрим векторы с общим началом в точке $A$. По правилу вычитания векторов, вектор $\vec{HN}$ можно выразить как разность векторов $\vec{AN}$ и $\vec{AH}$: $\vec{HN} = \vec{AN} - \vec{AH}$. Подставляя данные из условия, $\vec{a} = \vec{AH}$ и $\vec{b} = \vec{AN}$, получаем искомое выражение: $\vec{HN} = \vec{b} - \vec{a}$. Ответ: $\vec{HN} = \vec{b} - \vec{a}$.

$\vec{BN}$ По правилу вычитания векторов, вектор $\vec{BN}$ можно представить как разность векторов $\vec{AN}$ и $\vec{AB}$: $\vec{BN} = \vec{AN} - \vec{AB}$. Мы знаем, что $\vec{AN} = \vec{b}$. Теперь выразим вектор $\vec{AB}$ через $\vec{a}$. Точка $H$ является серединой стороны $AB$. Это означает, что $\vec{AB}$ в два раза длиннее $\vec{AH}$ и сонаправлен с ним, то есть $\vec{AB} = 2 \cdot \vec{AH}$. Так как $\vec{AH} = \vec{a}$, то $\vec{AB} = 2\vec{a}$. Подставим полученное выражение в формулу для $\vec{BN}$: $\vec{BN} = \vec{AN} - \vec{AB} = \vec{b} - 2\vec{a}$. Ответ: $\vec{BN} = \vec{b} - 2\vec{a}$.

1.34. Диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Выразите выражения $\vec{DC}+\vec{CB}$, $\vec{BO}+\vec{OC}$, $\vec{BO}-\vec{OC}$, $\vec{BA}-\vec{DA}$ через векторы $\vec{a}=\vec{AB}$ и $\vec{b}=\vec{AD}$.

Для решения задачи представим параллелограмм $ABCD$ и заданные векторы $\vec{a} = \vec{AB}$ и $\vec{b} = \vec{AD}$.

Основные свойства векторов в параллелограмме $ABCD$:
1. Векторы противоположных сторон равны: $\vec{DC} = \vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{b}$.
2. Векторы, направленные в противоположные стороны, являются противоположными: $\vec{BA} = -\vec{a}$, $\vec{CB} = -\vec{b}$.
3. Диагонали в точке пересечения $O$ делятся пополам, поэтому $\vec{AO} = \vec{OC}$ и $\vec{BO} = \vec{OD}$.
4. Векторы диагоналей: $\vec{AC} = \vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{BD} = \vec{b} - \vec{a}$.

$\vec{DC} + \vec{CB}$

По правилу сложения векторов (правило треугольника), сумма векторов $\vec{DC}$ и $\vec{CB}$ равна вектору $\vec{DB}$.$\vec{DC} + \vec{CB} = \vec{DB}$.Вектор $\vec{DB}$ противоположен вектору диагонали $\vec{BD}$, то есть $\vec{DB} = -\vec{BD}$.Вектор диагонали $\vec{BD}$ можно выразить как $\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$.Следовательно, $\vec{DB} = -(\vec{b} - \vec{a}) = \vec{a} - \vec{b}$.
Альтернативный способ: так как $ABCD$ — параллелограмм, $\vec{DC} = \vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{CB} = -\vec{BC} = -\vec{AD} = -\vec{b}$.Тогда $\vec{DC} + \vec{CB} = \vec{a} + (-\vec{b}) = \vec{a} - \vec{b}$.
Ответ: $\vec{a} - \vec{b}$.

$\vec{BO} + \vec{OC}$

По правилу сложения векторов, $\vec{BO} + \vec{OC} = \vec{BC}$.В параллелограмме $ABCD$ вектор $\vec{BC}$ равен вектору $\vec{AD}$, так как это противоположные стороны.$\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{b}$.Таким образом, $\vec{BO} + \vec{OC} = \vec{b}$.
Ответ: $\vec{b}$.

$\vec{BO} - \vec{OC}$

Диагонали параллелограмма в точке пересечения $O$ делятся пополам. Для диагонали $AC$ это означает, что $\vec{AO} = \vec{OC}$.Заменим в исходном выражении вектор $\vec{OC}$ на равный ему вектор $\vec{AO}$:$\vec{BO} - \vec{OC} = \vec{BO} - \vec{AO}$.Разность векторов можно представить как сумму: $\vec{BO} - \vec{AO} = \vec{BO} + (-\vec{AO}) = \vec{BO} + \vec{OA}$.По правилу сложения векторов (правило треугольника): $\vec{BO} + \vec{OA} = \vec{BA}$.Вектор $\vec{BA}$ противоположен вектору $\vec{AB}$, поэтому $\vec{BA} = -\vec{AB} = -\vec{a}$.Таким образом, $\vec{BO} - \vec{OC} = -\vec{a}$.
Ответ: $-\vec{a}$.

$\vec{BA} - \vec{DA}$

Преобразуем вычитание векторов в сложение с противоположным вектором. Вектор, противоположный вектору $\vec{DA}$, есть вектор $\vec{AD}$.$\vec{BA} - \vec{DA} = \vec{BA} + (-\vec{DA}) = \vec{BA} + \vec{AD}$.По правилу сложения векторов (правило треугольника), сумма $\vec{BA} + \vec{AD}$ равна вектору $\vec{BD}$.$\vec{BA} + \vec{AD} = \vec{BD}$.Выразим вектор диагонали $\vec{BD}$ через заданные векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$:$\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$.Следовательно, $\vec{BA} - \vec{DA} = \vec{b} - \vec{a}$.
Ответ: $\vec{b} - \vec{a}$.

1.35. Объясните действия лебедя, рака и щуки из известной басни И.А. Крылова с помощью векторов.

Действия лебедя, рака и щуки из басни И.А. Крылова можно объяснить с помощью векторов, рассматривая их усилия как силы, приложенные к одной точке — возу.

В физике сила является векторной величиной, то есть она характеризуется не только величиной (модулем), но и направлением. Обозначим силы, с которыми действуют на воз лебедь, рак и щука, как векторы $\vec{F_Л}$, $\vec{F_Р}$ и $\vec{F_Щ}$ соответственно.

Согласно тексту басни:

• Лебедь «рвется в облака», то есть его сила $\vec{F_Л}$ направлена вверх и, возможно, немного вперед.
• Рак «пятится назад», следовательно, его сила $\vec{F_Р}$ направлена назад, противоположно предполагаемому направлению движения.
• Щука «тянет в воду», то есть её сила $\vec{F_Щ}$ направлена в сторону и, вероятно, вниз.

Чтобы определить, будет ли воз двигаться и в каком направлении, необходимо найти сумму всех приложенных сил. Эта суммарная сила называется равнодействующей и находится путем векторного сложения:

$\vec{R} = \vec{F_Л} + \vec{F_Р} + \vec{F_Щ}$

Результат их усилий известен из басни: «а воз и ныне там». Это означает, что воз не сдвинулся с места. Согласно второму закону Ньютона, если тело находится в покое (его ускорение равно нулю), то векторная сумма всех приложенных к нему сил равна нулю.

Таким образом, действия лебедя, рака и щуки математически описываются следующим векторным равенством:

$\vec{F_Л} + \vec{F_Р} + \vec{F_Щ} = \vec{0}$

Это уравнение означает, что силы, приложенные героями басни, полностью скомпенсировали друг друга. Несмотря на то, что каждый из них прилагал усилие, их несогласованность привела к тому, что их общая равнодействующая сила оказалась равной нулю. Геометрически это означает, что если отложить эти три вектора друг за другом (начало следующего вектора в конце предыдущего), то конец последнего вектора совпадет с началом первого, образуя замкнутый треугольник.

Наглядное представление векторов сил может выглядеть так:

Ответ: Действия лебедя, рака и щуки можно описать как три вектора сил ($\vec{F_Л}$, $\vec{F_Р}$, $\vec{F_Щ}$), приложенные к одной точке (возу). Поскольку воз остается на месте, это означает, что равнодействующая этих сил равна нулю. Таким образом, с точки зрения векторной алгебры, ситуация описывается уравнением $\vec{F_Л} + \vec{F_Р} + \vec{F_Щ} = \vec{0}$. Это значит, что силы, направленные в разные стороны, взаимно уравновешиваются, и их общее действие не приводит к движению.

1.36. Дан равносторонний треугольник ABC со стороной $a$.

Найдите:

1) $ |\vec{AB} + \vec{BC}| $

2) $ |\vec{AB} + \vec{AC}| $

3) $ |\vec{AB} + \vec{CB}| $

4) $ |\vec{BA} - \vec{BC}| $

5) $ |\vec{AB} - \vec{AC}| $.

По условию задачи, дан равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a$. Это означает, что длины всех его сторон равны $a$, а все углы равны $60^\circ$.

$|\vec{AB}| = |\vec{BC}| = |\vec{AC}| = a$

$\angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ$

Для нахождения модуля суммы или разности векторов будем использовать как геометрические правила (правило треугольника, правило параллелограмма), так и формулу, связывающую модуль вектора с его скалярным квадратом: $|\vec{x}|^2 = \vec{x} \cdot \vec{x}$. Модуль суммы векторов $\vec{u}$ и $\vec{v}$ вычисляется по формуле $|\vec{u}+\vec{v}| = \sqrt{|\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 + 2(\vec{u} \cdot \vec{v})}$, а модуль разности — $|\vec{u}-\vec{v}| = \sqrt{|\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 - 2(\vec{u} \cdot \vec{v})}$, где скалярное произведение $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta$, а $\theta$ — угол между векторами.

1) $|\vec{AB} + \vec{BC}|$

Согласно правилу сложения векторов (правило треугольника или тождество Шаля), сумма векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ равна вектору $\vec{AC}$, так как начало второго вектора совпадает с концом первого.

$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$

Следовательно, модуль этой суммы равен модулю (длине) вектора $\vec{AC}$.

$|\vec{AB} + \vec{BC}| = |\vec{AC}|$

Поскольку треугольник $ABC$ равносторонний со стороной $a$, длина стороны $AC$ равна $a$.

$|\vec{AC}| = a$

Ответ: $a$

2) $|\vec{AB} + \vec{AC}|$

Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ выходят из одной точки $A$. Их сумма по правилу параллелограмма будет диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах. Так как $|\vec{AB}| = |\vec{AC}| = a$, этот параллелограмм будет ромбом. Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ равен углу при вершине $A$, то есть $\angle BAC = 60^\circ$.

Воспользуемся формулой для модуля суммы векторов:

$|\vec{AB} + \vec{AC}|^2 = |\vec{AB}|^2 + |\vec{AC}|^2 + 2(\vec{AB} \cdot \vec{AC})$

Скалярное произведение $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos(\angle BAC) = a \cdot a \cdot \cos(60^\circ) = a^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2}$.

Подставим значения:

$|\vec{AB} + \vec{AC}|^2 = a^2 + a^2 + 2 \cdot \frac{a^2}{2} = 2a^2 + a^2 = 3a^2$

Следовательно, модуль вектора равен:

$|\vec{AB} + \vec{AC}| = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$

Ответ: $a\sqrt{3}$

3) $|\vec{AB} + \vec{CB}|$

Для удобства приведем векторы к общему началу. Заметим, что $\vec{CB} = -\vec{BC}$. Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CB}$ приложены к разным точкам. Преобразуем выражение, используя свойство модуля: $|-\vec{v}| = |\vec{v}|$.

$|\vec{AB} + \vec{CB}| = |-(-\vec{AB} - \vec{CB})| = |-\vec{AB} + \vec{BC}| = |-( \vec{BA} + \vec{BC})| = |\vec{BA} + \vec{BC}|$

Теперь мы ищем модуль суммы векторов $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$, которые выходят из одной точки $B$. Угол между ними равен $\angle ABC = 60^\circ$.

Применим формулу для модуля суммы:

$|\vec{BA} + \vec{BC}|^2 = |\vec{BA}|^2 + |\vec{BC}|^2 + 2(\vec{BA} \cdot \vec{BC})$

Скалярное произведение $\vec{BA} \cdot \vec{BC} = |\vec{BA}| \cdot |\vec{BC}| \cdot \cos(\angle ABC) = a \cdot a \cdot \cos(60^\circ) = \frac{a^2}{2}$.

$|\vec{BA} + \vec{BC}|^2 = a^2 + a^2 + 2 \cdot \frac{a^2}{2} = 3a^2$

$|\vec{BA} + \vec{BC}| = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$

Ответ: $a\sqrt{3}$

4) $|\vec{BA} - \vec{BC}|$

Векторы $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$ выходят из одной точки $B$. По определению разности векторов, вектор $\vec{BA} - \vec{BC}$ — это вектор, идущий из конца второго вектора ($C$) в конец первого ($A$).

$\vec{BA} - \vec{BC} = \vec{CA}$

Модуль этого вектора равен длине стороны $CA$.

$|\vec{BA} - \vec{BC}| = |\vec{CA}| = a$

Проверим с помощью формулы:

$|\vec{BA} - \vec{BC}|^2 = |\vec{BA}|^2 + |\vec{BC}|^2 - 2(\vec{BA} \cdot \vec{BC}) = a^2 + a^2 - 2 \cdot (a \cdot a \cdot \cos(60^\circ)) = 2a^2 - 2 \cdot \frac{a^2}{2} = a^2$

$|\vec{BA} - \vec{BC}| = \sqrt{a^2} = a$

Ответ: $a$

5) $|\vec{AB} - \vec{AC}|$

Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ выходят из одной точки $A$. По определению разности векторов, вектор $\vec{AB} - \vec{AC}$ — это вектор, соединяющий конец второго вектора ($C$) с концом первого ($B$).

$\vec{AB} - \vec{AC} = \vec{CB}$

Модуль этого вектора равен длине стороны $CB$.

$|\vec{AB} - \vec{AC}| = |\vec{CB}| = a$

Проверим с помощью формулы:

$|\vec{AB} - \vec{AC}|^2 = |\vec{AB}|^2 + |\vec{AC}|^2 - 2(\vec{AB} \cdot \vec{AC}) = a^2 + a^2 - 2 \cdot (a \cdot a \cdot \cos(60^\circ)) = 2a^2 - 2 \cdot \frac{a^2}{2} = a^2$

$|\vec{AB} - \vec{AC}| = \sqrt{a^2} = a$

Ответ: $a$

1.37. Покажите, что для любых векторов $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ верно неравенство:

1) $ |\vec{a}+\vec{b}|\leq|\vec{a}|+|\vec{b}| $;

2) $ |\vec{a}-\vec{b}|\leq|\vec{a}|+|\vec{b}| $. При каких условиях выполняется знак равенства?

1) Докажем неравенство $|\vec{a} + \vec{b}| \le |\vec{a}| + |\vec{b}|$, известное как неравенство треугольника для векторов.

Это неравенство можно доказать как геометрически (из правила треугольника для сложения векторов), так и алгебраически. Приведем алгебраическое доказательство.

Поскольку длина вектора (его модуль) является неотрицательной величиной, обе части неравенства неотрицательны. Поэтому мы можем возвести обе части в квадрат, не меняя знака неравенства:

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 \le (|\vec{a}| + |\vec{b}|)^2$

Используем свойство скалярного произведения: квадрат модуля вектора равен скалярному квадрату этого вектора, то есть $|\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v}$.

Преобразуем левую часть:

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$

Преобразуем правую часть:

$(|\vec{a}| + |\vec{b}|)^2 = |\vec{a}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}| + |\vec{b}|^2$

Подставим полученные выражения обратно в неравенство:

$|\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 \le |\vec{a}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}| + |\vec{b}|^2$

Вычитая из обеих частей $|\vec{a}|^2$ и $|\vec{b}|^2$ и сокращая на 2, получаем:

$\vec{a} \cdot \vec{b} \le |\vec{a}||\vec{b}|$

По определению скалярного произведения, $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$, где $\theta$ — угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Подставив это, получим: $|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta \le |\vec{a}||\vec{b}|$.

Если хотя бы один из векторов нулевой, то неравенство превращается в $0 \le 0$, что верно. Если оба вектора ненулевые, мы можем разделить обе части на положительное число $|\vec{a}||\vec{b}|$, получая:

$\cos\theta \le 1$

Это неравенство верно для любого угла $\theta$, так как область значений функции косинуса — отрезок $[-1, 1]$. Таким образом, исходное неравенство доказано.

Теперь определим условия, при которых выполняется знак равенства. Равенство $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$ достигается тогда и только тогда, когда в нашем доказательстве все неравенства становятся равенствами. Это происходит при $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|$, что эквивалентно условию $\cos\theta = 1$. Угол между векторами равен нулю ($\theta = 0$), что означает, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены ($\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$). Равенство также выполняется, если один или оба вектора являются нулевыми.

Ответ: Равенство $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$ выполняется, когда векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены (включая случай, когда один или оба вектора нулевые).

2) Докажем неравенство $|\vec{a} - \vec{b}| \le |\vec{a}| + |\vec{b}|$.

Это неравенство является следствием неравенства треугольника, доказанного в пункте 1. Представим вектор $\vec{a} - \vec{b}$ как сумму векторов $\vec{a}$ и $(-\vec{b})$. Применим к этой сумме доказанное неравенство $|\vec{c} + \vec{d}| \le |\vec{c}| + |\vec{d}|$, взяв $\vec{c} = \vec{a}$ и $\vec{d} = -\vec{b}$:

$|\vec{a} + (-\vec{b})| \le |\vec{a}| + |-\vec{b}|$

Поскольку модуль вектора $-\vec{b}$ равен модулю вектора $\vec{b}$ (так как они имеют одинаковую длину), то есть $|-\vec{b}| = |\vec{b}|$, мы получаем требуемое неравенство:

$|\vec{a} - \vec{b}| \le |\vec{a}| + |\vec{b}|$

Неравенство доказано.

Определим условия равенства. Равенство $|\vec{a} - \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$ достигается, когда выполняется равенство в использованном нами неравенстве треугольника: $|\vec{a} + (-\vec{b})| = |\vec{a}| + |-\vec{b}|$.

Как мы установили в пункте 1, это происходит, когда векторы $\vec{a}$ и $-\vec{b}$ сонаправлены. Если вектор $-\vec{b}$ сонаправлен с вектором $\vec{a}$, то вектор $\vec{b}$ направлен в противоположную сторону по отношению к вектору $\vec{a}$. То есть векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены ($\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$). Это соответствует углу между ними $\theta = \pi$ ($180^\circ$). Равенство также выполняется, если один или оба вектора нулевые.

Ответ: Равенство $|\vec{a} - \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$ выполняется, когда векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены (включая случай, когда один или оба вектора нулевые).

1.38. Дан параллелограмм $ABCD$. Точки $P$ и $O$ являются серединами сторон $BC$ и $CD$ соответственно.

1) Постройте составляющие векторов $\vec{AP}, \vec{AO}, \vec{DP}, \vec{BO}, \vec{PO}$ по прямым $AB$ и $AD$.

2) Постройте составляющие векторов $\vec{AB}, \vec{DB}, \vec{AC}$ по прямым $AP$ и $AO$.

Для решения задачи введем базисные векторы, связанные со сторонами параллелограмма: пусть $\vec{a} = \vec{AB}$ и $\vec{b} = \vec{AD}$.

Так как ABCD — параллелограмм, то $\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{b}$ и $\vec{DC} = \vec{AB} = \vec{a}$. Также $\vec{CD} = -\vec{DC} = -\vec{a}$.

Точка P — середина стороны BC, следовательно, $\vec{BP} = \frac{1}{2}\vec{BC} = \frac{1}{2}\vec{b}$.

Точка O — середина стороны CD, следовательно, $\vec{DO} = \frac{1}{2}\vec{DC} = \frac{1}{2}\vec{a}$.

1) Постройте составляющие векторов $\vec{AP}$, $\vec{AO}$, $\vec{DP}$, $\vec{BO}$, $\vec{PO}$ по прямым AB и AD.

Для нахождения составляющих (разложения по базису $\vec{a}$ и $\vec{b}$) воспользуемся правилом сложения векторов (правилом треугольника или многоугольника).

$\vec{AP} = \vec{AB} + \vec{BP} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$

$\vec{AO} = \vec{AD} + \vec{DO} = \vec{b} + \frac{1}{2}\vec{a} = \frac{1}{2}\vec{a} + \vec{b}$

$\vec{DP} = \vec{DA} + \vec{AP} = -\vec{AD} + (\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}) = -\vec{b} + \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} = \vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b}$. Или иначе: $\vec{DP} = \vec{DC} + \vec{CP} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{CB} = \vec{a} - \frac{1}{2}\vec{BC} = \vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b}$.

$\vec{BO} = \vec{BA} + \vec{AO} = -\vec{AB} + (\frac{1}{2}\vec{a} + \vec{b}) = -\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{a} + \vec{b} = -\frac{1}{2}\vec{a} + \vec{b}$. Или иначе: $\vec{BO} = \vec{BC} + \vec{CO} = \vec{b} + \frac{1}{2}\vec{CD} = \vec{b} - \frac{1}{2}\vec{a}$.

$\vec{PO} = \vec{PA} + \vec{AO} = -(\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}) + (\frac{1}{2}\vec{a} + \vec{b}) = -\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{a} + \vec{b} = -\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$. Заметим, что PO — средняя линия треугольника BCD, поэтому $\vec{PO} = \frac{1}{2}\vec{BD} = \frac{1}{2}(\vec{AD} - \vec{AB}) = \frac{1}{2}(\vec{b} - \vec{a})$.

Ответ: $\vec{AP} = \vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AD}$; $\vec{AO} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \vec{AD}$; $\vec{DP} = \vec{AB} - \frac{1}{2}\vec{AD}$; $\vec{BO} = -\frac{1}{2}\vec{AB} + \vec{AD}$; $\vec{PO} = -\frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AD}$.

2) Постройте составляющие векторов $\vec{AB}$, $\vec{DB}$, $\vec{AC}$ по прямым AP и AO.

Обозначим новые базисные векторы: $\vec{p} = \vec{AP}$ и $\vec{q} = \vec{AO}$. Из пункта 1 имеем систему уравнений, связывающую старый и новый базисы:

$\vec{p} = \vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AD}$

$\vec{q} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \vec{AD}$

Решим эту систему относительно $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$. Умножим первое уравнение на 2:

$2\vec{p} = 2\vec{AB} + \vec{AD}$

Выразим $\vec{AD}$: $\vec{AD} = 2\vec{p} - 2\vec{AB}$. Подставим это во второе уравнение:

$\vec{q} = \frac{1}{2}\vec{AB} + (2\vec{p} - 2\vec{AB}) = 2\vec{p} - \frac{3}{2}\vec{AB}$

Отсюда выразим $\vec{AB}$:

$\frac{3}{2}\vec{AB} = 2\vec{p} - \vec{q} \implies \vec{AB} = \frac{2}{3}(2\vec{p} - \vec{q}) = \frac{4}{3}\vec{p} - \frac{2}{3}\vec{q}$

Теперь найдем $\vec{AD}$:

$\vec{AD} = 2\vec{p} - 2\vec{AB} = 2\vec{p} - 2(\frac{4}{3}\vec{p} - \frac{2}{3}\vec{q}) = 2\vec{p} - \frac{8}{3}\vec{p} + \frac{4}{3}\vec{q} = -\frac{2}{3}\vec{p} + \frac{4}{3}\vec{q}$

Итак, мы выразили векторы старого базиса через новый:

$\vec{AB} = \frac{4}{3}\vec{AP} - \frac{2}{3}\vec{AO}$

$\vec{AD} = -\frac{2}{3}\vec{AP} + \frac{4}{3}\vec{AO}$

Теперь найдем разложения для заданных векторов:

$\vec{AB}$: Это первый вектор нового базиса, его разложение уже найдено: $\vec{AB} = \frac{4}{3}\vec{AP} - \frac{2}{3}\vec{AO}$.

$\vec{DB} = \vec{AB} - \vec{AD} = (\frac{4}{3}\vec{AP} - \frac{2}{3}\vec{AO}) - (-\frac{2}{3}\vec{AP} + \frac{4}{3}\vec{AO}) = (\frac{4}{3}+\frac{2}{3})\vec{AP} + (-\frac{2}{3}-\frac{4}{3})\vec{AO} = \frac{6}{3}\vec{AP} - \frac{6}{3}\vec{AO} = 2\vec{AP} - 2\vec{AO}$.

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD} = (\frac{4}{3}\vec{AP} - \frac{2}{3}\vec{AO}) + (-\frac{2}{3}\vec{AP} + \frac{4}{3}\vec{AO}) = (\frac{4}{3}-\frac{2}{3})\vec{AP} + (-\frac{2}{3}+\frac{4}{3})\vec{AO} = \frac{2}{3}\vec{AP} + \frac{2}{3}\vec{AO}$.

Ответ: $\vec{AB} = \frac{4}{3}\vec{AP} - \frac{2}{3}\vec{AO}$; $\vec{DB} = 2\vec{AP} - 2\vec{AO}$; $\vec{AC} = \frac{2}{3}\vec{AP} + \frac{2}{3}\vec{AO}$.