Номер 1.37, страница 28 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.37. Покажите, что для любых векторов $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ верно неравенство:

1) $ |\vec{a}+\vec{b}|\leq|\vec{a}|+|\vec{b}| $;

2) $ |\vec{a}-\vec{b}|\leq|\vec{a}|+|\vec{b}| $. При каких условиях выполняется знак равенства?

1) Докажем неравенство $|\vec{a} + \vec{b}| \le |\vec{a}| + |\vec{b}|$, известное как неравенство треугольника для векторов.

Это неравенство можно доказать как геометрически (из правила треугольника для сложения векторов), так и алгебраически. Приведем алгебраическое доказательство.

Поскольку длина вектора (его модуль) является неотрицательной величиной, обе части неравенства неотрицательны. Поэтому мы можем возвести обе части в квадрат, не меняя знака неравенства:

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 \le (|\vec{a}| + |\vec{b}|)^2$

Используем свойство скалярного произведения: квадрат модуля вектора равен скалярному квадрату этого вектора, то есть $|\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v}$.

Преобразуем левую часть:

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$

Преобразуем правую часть:

$(|\vec{a}| + |\vec{b}|)^2 = |\vec{a}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}| + |\vec{b}|^2$

Подставим полученные выражения обратно в неравенство:

$|\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 \le |\vec{a}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}| + |\vec{b}|^2$

Вычитая из обеих частей $|\vec{a}|^2$ и $|\vec{b}|^2$ и сокращая на 2, получаем:

$\vec{a} \cdot \vec{b} \le |\vec{a}||\vec{b}|$

По определению скалярного произведения, $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$, где $\theta$ — угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Подставив это, получим: $|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta \le |\vec{a}||\vec{b}|$.

Если хотя бы один из векторов нулевой, то неравенство превращается в $0 \le 0$, что верно. Если оба вектора ненулевые, мы можем разделить обе части на положительное число $|\vec{a}||\vec{b}|$, получая:

$\cos\theta \le 1$

Это неравенство верно для любого угла $\theta$, так как область значений функции косинуса — отрезок $[-1, 1]$. Таким образом, исходное неравенство доказано.

Теперь определим условия, при которых выполняется знак равенства. Равенство $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$ достигается тогда и только тогда, когда в нашем доказательстве все неравенства становятся равенствами. Это происходит при $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|$, что эквивалентно условию $\cos\theta = 1$. Угол между векторами равен нулю ($\theta = 0$), что означает, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены ($\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$). Равенство также выполняется, если один или оба вектора являются нулевыми.

Ответ: Равенство $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$ выполняется, когда векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены (включая случай, когда один или оба вектора нулевые).

2) Докажем неравенство $|\vec{a} - \vec{b}| \le |\vec{a}| + |\vec{b}|$.

Это неравенство является следствием неравенства треугольника, доказанного в пункте 1. Представим вектор $\vec{a} - \vec{b}$ как сумму векторов $\vec{a}$ и $(-\vec{b})$. Применим к этой сумме доказанное неравенство $|\vec{c} + \vec{d}| \le |\vec{c}| + |\vec{d}|$, взяв $\vec{c} = \vec{a}$ и $\vec{d} = -\vec{b}$:

$|\vec{a} + (-\vec{b})| \le |\vec{a}| + |-\vec{b}|$

Поскольку модуль вектора $-\vec{b}$ равен модулю вектора $\vec{b}$ (так как они имеют одинаковую длину), то есть $|-\vec{b}| = |\vec{b}|$, мы получаем требуемое неравенство:

$|\vec{a} - \vec{b}| \le |\vec{a}| + |\vec{b}|$

Неравенство доказано.

Определим условия равенства. Равенство $|\vec{a} - \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$ достигается, когда выполняется равенство в использованном нами неравенстве треугольника: $|\vec{a} + (-\vec{b})| = |\vec{a}| + |-\vec{b}|$.

Как мы установили в пункте 1, это происходит, когда векторы $\vec{a}$ и $-\vec{b}$ сонаправлены. Если вектор $-\vec{b}$ сонаправлен с вектором $\vec{a}$, то вектор $\vec{b}$ направлен в противоположную сторону по отношению к вектору $\vec{a}$. То есть векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены ($\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$). Это соответствует углу между ними $\theta = \pi$ ($180^\circ$). Равенство также выполняется, если один или оба вектора нулевые.

Ответ: Равенство $|\vec{a} - \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$ выполняется, когда векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены (включая случай, когда один или оба вектора нулевые).