Номер 1.33, страница 28 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.33. Точки H и N являются серединами сторон AB и AC соответственно треугольника ABC. Выразите векторы $ \overrightarrow{AN} $, $ \overrightarrow{NC} $, $ \overrightarrow{HN} $, $ \overrightarrow{BN} $ через векторы $ \vec{a} = \overrightarrow{AH} $ и $ \vec{b} = \overrightarrow{AN} $.

По условию задачи, в треугольнике $ABC$ точки $H$ и $N$ являются серединами сторон $AB$ и $AC$ соответственно. Введены базисные векторы: $\vec{a} = \vec{AH}$ и $\vec{b} = \vec{AN}$. Необходимо выразить векторы $\vec{AN}$, $\vec{NC}$, $\vec{HN}$, $\vec{BN}$ через $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

$\vec{AN}$ Согласно условию задачи, вектор $\vec{b}$ определен как $\vec{b} = \vec{AN}$. Следовательно, выражение для вектора $\vec{AN}$ уже дано. Ответ: $\vec{AN} = \vec{b}$.

$\vec{NC}$ Точка $N$ является серединой стороны $AC$. Это означает, что она делит отрезок $AC$ на два равных отрезка $AN$ и $NC$. Векторы, соответствующие этим отрезкам и имеющие одинаковое направление (от $A$ к $C$), равны: $\vec{AN} = \vec{NC}$. Поскольку по условию $\vec{AN} = \vec{b}$, то и $\vec{NC} = \vec{b}$. Ответ: $\vec{NC} = \vec{b}$.

$\vec{HN}$ Рассмотрим векторы с общим началом в точке $A$. По правилу вычитания векторов, вектор $\vec{HN}$ можно выразить как разность векторов $\vec{AN}$ и $\vec{AH}$: $\vec{HN} = \vec{AN} - \vec{AH}$. Подставляя данные из условия, $\vec{a} = \vec{AH}$ и $\vec{b} = \vec{AN}$, получаем искомое выражение: $\vec{HN} = \vec{b} - \vec{a}$. Ответ: $\vec{HN} = \vec{b} - \vec{a}$.

$\vec{BN}$ По правилу вычитания векторов, вектор $\vec{BN}$ можно представить как разность векторов $\vec{AN}$ и $\vec{AB}$: $\vec{BN} = \vec{AN} - \vec{AB}$. Мы знаем, что $\vec{AN} = \vec{b}$. Теперь выразим вектор $\vec{AB}$ через $\vec{a}$. Точка $H$ является серединой стороны $AB$. Это означает, что $\vec{AB}$ в два раза длиннее $\vec{AH}$ и сонаправлен с ним, то есть $\vec{AB} = 2 \cdot \vec{AH}$. Так как $\vec{AH} = \vec{a}$, то $\vec{AB} = 2\vec{a}$. Подставим полученное выражение в формулу для $\vec{BN}$: $\vec{BN} = \vec{AN} - \vec{AB} = \vec{b} - 2\vec{a}$. Ответ: $\vec{BN} = \vec{b} - 2\vec{a}$.