Номер 1.31, страница 28 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.31. Упростите выражение:

1) $(\vec{AB} + \vec{BC} - \vec{MC}) + (\vec{MD} - \vec{KD});$

2) $(\vec{CD} + \vec{BD} + \vec{AC}) - (\vec{NK} + \vec{KD}),$ применяя метод последовательного сложения векторов.

1) Для упрощения выражения $(\vec{AB} + \vec{BC} - \vec{MC}) + (\vec{MD} - \vec{KD})$ воспользуемся правилами сложения и вычитания векторов.

Раскроем скобки и преобразуем вычитание в сложение с противоположным вектором (используя правило $-\vec{XY} = \vec{YX}$):

$(\vec{AB} + \vec{BC} - \vec{MC}) + (\vec{MD} - \vec{KD}) = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CM} + \vec{MD} + \vec{DK}$

Теперь мы можем последовательно сложить векторы, используя правило треугольника (правило Шаля: $\vec{PQ} + \vec{QR} = \vec{PR}$), так как конец каждого предыдущего вектора является началом следующего:

1. $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$

2. $\vec{AC} + \vec{CM} = \vec{AM}$

3. $\vec{AM} + \vec{MD} = \vec{AD}$

4. $\vec{AD} + \vec{DK} = \vec{AK}$

Таким образом, всё выражение упрощается до вектора $\vec{AK}$.

Ответ: $\vec{AK}$

2) Упростим выражение $(\vec{CD} + \vec{BD} + \vec{AC}) - (\vec{NK} + \vec{KD})$, применяя метод последовательного сложения векторов.

Сначала раскроем скобки. Вычитание суммы векторов равносильно вычитанию каждого вектора из этой суммы:

$(\vec{CD} + \vec{BD} + \vec{AC}) - (\vec{NK} + \vec{KD}) = \vec{CD} + \vec{BD} + \vec{AC} - \vec{NK} - \vec{KD}$

Заменим вычитание векторов сложением с противоположными им векторами ($-\vec{XY} = \vec{YX}$):

$\vec{CD} + \vec{BD} + \vec{AC} + \vec{KN} + \vec{DK}$

Для применения метода последовательного сложения (правила многоугольника), переставим векторы так, чтобы они образовали непрерывную цепь:

$\vec{AC} + \vec{CD} + \vec{DK} + \vec{KN} + \vec{BD}$

Теперь последовательно сложим первые четыре вектора в цепи:

$(\vec{AC} + \vec{CD}) + \vec{DK} + \vec{KN} = \vec{AD} + \vec{DK} + \vec{KN}$

$(\vec{AD} + \vec{DK}) + \vec{KN} = \vec{AK} + \vec{KN}$

$\vec{AK} + \vec{KN} = \vec{AN}$

Сумма первых четырех векторов равна $\vec{AN}$. Теперь добавим к результату оставшийся вектор $\vec{BD}$:

$\vec{AN} + \vec{BD}$

Дальнейшее упрощение этого выражения невозможно без дополнительной информации о взаимном расположении точек. Следовательно, это и есть итоговый упрощенный вид.

Ответ: $\vec{AN} + \vec{BD}$