Номер 1.28, страница 27 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.28. В треугольнике $ABC$ $AB = 6$ см, $BC = 8$ см, $\angle B = 90^\circ$.

Найдите:

1) $| \vec{BA} | - | \vec{BC} |$ и $| \vec{BA} - \vec{BC} |$;

2) $| \vec{AB} | + | \vec{BC} |$ и $| \vec{AB} + \vec{BC} |$;

3) $| \vec{BA} | + | \vec{BC} |$ и $| \vec{BA} + \vec{BC} |$;

4) $| \vec{AB} | - | \vec{BC} |$ и $| \vec{AB} - \vec{BC} |$.

В задаче дан прямоугольный треугольник $ABC$ с катетами $AB = 6$ см и $BC = 8$ см и прямым углом при вершине $B$ ($\angle B = 90^\circ$).

Прежде всего, найдем длины (модули) векторов, которые нам известны из условия:

$|\vec{AB}| = AB = 6$ см.

$|\vec{BC}| = BC = 8$ см.

Вектор $\vec{BA}$ противоположен вектору $\vec{AB}$, но его длина (модуль) такая же: $|\vec{BA}| = |\vec{AB}| = 6$ см.

Для дальнейших вычислений найдем длину гипотенузы $AC$ по теореме Пифагора:

$AC^2 = AB^2 + BC^2$

$AC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$

$AC = \sqrt{100} = 10$ см.

Таким образом, модуль вектора $\vec{AC}$ (и противоположного ему $\vec{CA}$) равен $10$ см: $|\vec{AC}| = |\vec{CA}| = 10$ см.

Теперь решим каждый пункт задачи.

1) $|\vec{BA}|-|\vec{BC}|$ и $|\vec{BA}-\vec{BC}|$

Первое выражение — это разность модулей (длин) векторов:
$|\vec{BA}| - |\vec{BC}| = 6 - 8 = -2$ см.

Второе выражение — это модуль разности векторов. Разность векторов $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$, выходящих из одной точки B, — это вектор, соединяющий их концы, направленный от вычитаемого к уменьшаемому, то есть вектор $\vec{CA}$.
$\vec{BA} - \vec{BC} = \vec{CA}$.
Следовательно, нам нужно найти модуль вектора $\vec{CA}$:
$|\vec{BA} - \vec{BC}| = |\vec{CA}| = AC = 10$ см.

Ответ: $-2$ см и $10$ см.

2) $|\vec{AB}|+|\vec{BC}|$ и $|\vec{AB}+\vec{BC}|$

Первое выражение — это сумма модулей (длин) векторов:
$|\vec{AB}| + |\vec{BC}| = 6 + 8 = 14$ см.

Второе выражение — это модуль суммы векторов. По правилу треугольника для сложения векторов, где конец первого вектора совпадает с началом второго, их сумма — это вектор, соединяющий начало первого с концом второго.
$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.
Следовательно, нам нужно найти модуль вектора $\vec{AC}$:
$|\vec{AB} + \vec{BC}| = |\vec{AC}| = AC = 10$ см.

Ответ: $14$ см и $10$ см.

3) $|\vec{BA}|+|\vec{BC}|$ и $|\vec{BA}+\vec{BC}|$

Первое выражение — это сумма модулей (длин) векторов:
$|\vec{BA}| + |\vec{BC}| = 6 + 8 = 14$ см.

Второе выражение — это модуль суммы векторов, выходящих из одной точки B. По правилу параллелограмма, их сумма — это вектор, совпадающий с диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах и выходящей из той же точки. Так как $\angle B = 90^\circ$, этот параллелограмм является прямоугольником, а его диагональ равна по длине гипотенузе $AC$.
$|\vec{BA} + \vec{BC}| = AC = 10$ см.

Ответ: $14$ см и $10$ см.

4) $|\vec{AB}|-|\vec{BC}|$ и $|\vec{AB}-\vec{BC}|$

Первое выражение — это разность модулей (длин) векторов:
$|\vec{AB}| - |\vec{BC}| = 6 - 8 = -2$ см.

Второе выражение — это модуль разности векторов. Заменим вычитание сложением с противоположным вектором:
$\vec{AB} - \vec{BC} = \vec{AB} + (-\vec{BC})$.
Так как $-\vec{BC} = \vec{CB}$, получаем:
$\vec{AB} + \vec{CB} = \vec{CB} + \vec{AB}$.
По правилу треугольника, эта сумма равна вектору $\vec{CA}$.
$|\vec{AB} - \vec{BC}| = |\vec{CA}| = AC = 10$ см.

Ответ: $-2$ см и $10$ см.