Номер 1.30, страница 27 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.30. От пристани отплыла лодка в направлении, перпендикулярном относительно течения реки, ширина которой равна $a$. Известно, что скорость течения реки равна $v_1$, а скорость лодки $v_2$. На какое расстояние удалится лодка от пристани по истечению времени $t$? Как определить длину пути лодки?

Для решения задачи введем декартову систему координат. Пусть пристань, от которой отплывает лодка, находится в начале координат (0, 0). Направим ось OY перпендикулярно течению реки, в направлении, в котором лодка начинает движение относительно воды. Ось OX направим вдоль течения реки.

В этой системе координат вектор скорости течения реки $\vec{v}_1$ направлен вдоль оси OX, а вектор скорости лодки относительно воды $\vec{v}_2$ направлен вдоль оси OY. Результирующая скорость лодки относительно берега $\vec{v}$ находится по принципу суперпозиции (сложения) скоростей:

$\vec{v} = \vec{v}_1 + \vec{v}_2$

Так как векторы $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$ взаимно перпендикулярны, движение лодки относительно берега будет происходить по прямой линии под некоторым углом к берегу.

На какое расстояние удалится лодка от пристани по истечению времени t?

Движение лодки является равномерным и прямолинейным. Её перемещение по каждой из осей за время $t$ можно рассчитать независимо:

Смещение вдоль течения (по оси OX): $x = v_1 \cdot t$

Смещение поперек течения (по оси OY): $y = v_2 \cdot t$

Расстояние $S$ от пристани (начала координат) до точки, в которой окажется лодка, является длиной гипотенузы в прямоугольном треугольнике с катетами $x$ и $y$. По теореме Пифагора:

$S = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(v_1 t)^2 + (v_2 t)^2}$

Вынесем общий множитель $t^2$ из-под знака корня:

$S = \sqrt{t^2(v_1^2 + v_2^2)} = t\sqrt{v_1^2 + v_2^2}$

Ответ: $S = t\sqrt{v_1^2 + v_2^2}$

Как определить длину пути лодки?

Длина пути — это расстояние, пройденное телом вдоль траектории. Поскольку в данном случае лодка движется прямолинейно с постоянной скоростью, её путь $L$ равен произведению модуля её результирующей скорости $v$ на время движения $t$.

Модуль результирующей скорости $v = |\vec{v}|$ можно найти по теореме Пифагора, так как компоненты скорости $v_1$ и $v_2$ перпендикулярны:

$v = |\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}$

Следовательно, длина пути $L$ за время $t$ определяется по формуле:

$L = v \cdot t = t\sqrt{v_1^2 + v_2^2}$

Таким образом, для прямолинейного движения с постоянной скоростью, начавшегося из точки покоя, длина пути численно равна расстоянию от начальной точки.

Параметр "ширина реки $a$" не требуется для ответа на поставленные вопросы, если время $t$ задано. Однако, если бы требовалось найти длину пути, который лодка пройдет для пересечения реки, то время движения $t_{cross}$ нужно было бы определить через ширину реки $a$ и скорость $v_2$, перпендикулярную берегу: $t_{cross} = a/v_2$. Тогда длина пути была бы $L_{cross} = \frac{a}{v_2}\sqrt{v_1^2 + v_2^2}$.

Ответ: Длину пути лодки $L$ определяют, умножая модуль её результирующей скорости $v = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}$ на время движения $t$. Формула для вычисления: $L = t\sqrt{v_1^2 + v_2^2}$.