Страница 27 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.21. Найдите сумму векторов:

1) $ \vec{OA} + \vec{AB} + \vec{BC} $;

2) $ \vec{KP} + \vec{MN} + \vec{NK} $;

3) $ \vec{OP} + \vec{QR} + \vec{PQ} + \vec{RO} $.

1) Для нахождения суммы векторов $ \vec{OA} + \vec{AB} + \vec{BC} $ используется правило многоугольника (или правило цепи). Согласно этому правилу, если несколько векторов образуют последовательную цепь (конец предыдущего вектора является началом следующего), то их сумма — это вектор, соединяющий начало первого вектора с концом последнего. Сначала сложим первые два вектора: $ \vec{OA} + \vec{AB} = \vec{OB} $. Затем к полученному результату прибавим третий вектор: $ \vec{OB} + \vec{BC} = \vec{OC} $. Таким образом, $ \vec{OA} + \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{OC} $. Ответ: $ \vec{OC} $.

2) Для нахождения суммы $ \vec{KP} + \vec{MN} + \vec{NK} $ воспользуемся переместительным свойством сложения векторов (сумма не зависит от порядка слагаемых), чтобы составить из них цепь. Переставим векторы: $ \vec{MN} + \vec{NK} + \vec{KP} $. Теперь векторы образуют последовательную цепь: M → N → K → P. Применим правило многоугольника: $ (\vec{MN} + \vec{NK}) + \vec{KP} = \vec{MK} + \vec{KP} = \vec{MP} $. Ответ: $ \vec{MP} $.

3) Для нахождения суммы $ \vec{OP} + \vec{QR} + \vec{PQ} + \vec{RO} $ также используем переместительное свойство сложения, чтобы сгруппировать векторы в цепь. Расположим векторы в следующем порядке: $ \vec{OP} + \vec{PQ} + \vec{QR} + \vec{RO} $. Эта последовательность векторов образует замкнутый контур, так как начало первого вектора (точка O) совпадает с концом последнего вектора (точка O). Сложим их последовательно: $ \vec{OP} + \vec{PQ} = \vec{OQ} $. Промежуточная сумма: $ \vec{OQ} + \vec{QR} + \vec{RO} $. Продолжаем сложение: $ \vec{OQ} + \vec{QR} = \vec{OR} $. Остается сложить: $ \vec{OR} + \vec{RO} $. Векторы $ \vec{OR} $ и $ \vec{RO} $ являются противоположными, так как они имеют одинаковую длину, но противоположные направления. Сумма двух противоположных векторов всегда равна нулевому вектору ($ \vec{0} $). Следовательно, $ \vec{OR} + \vec{RO} = \vec{0} $. Ответ: $ \vec{0} $.

1.22. Выразите вектор $\vec{BC}$ через векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$.

Чтобы выразить вектор $\vec{BC}$ через векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$, мы можем воспользоваться правилом сложения векторов для трех точек (правило треугольника или правило Шаля).

Для любых трех точек A, B и C в пространстве справедливо следующее векторное равенство:

$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$

Это равенство означает, что перемещение из точки A в точку C эквивалентно перемещению из A в B, а затем из B в C.

Чтобы найти выражение для вектора $\vec{BC}$, мы можем алгебраически преобразовать это уравнение, вычтя вектор $\vec{AB}$ из обеих частей:

$\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}$

Альтернативный способ рассуждения:

Рассмотрим путь из точки B в точку C. Этот путь можно представить как последовательное перемещение из точки B в точку A, а затем из точки A в точку C. В виде векторов это записывается так:

$\vec{BC} = \vec{BA} + \vec{AC}$

Вектор $\vec{BA}$ является противоположным вектору $\vec{AB}$. Это означает, что он имеет ту же длину, но направлен в противоположную сторону. Математически это выражается как:

$\vec{BA} = -\vec{AB}$

Подставив это выражение в предыдущую формулу, мы получим тот же самый результат:

$\vec{BC} = -\vec{AB} + \vec{AC}$

Что принято записывать в виде:

$\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}$

Приведенная ниже диаграмма иллюстрирует данное соотношение. Искомый вектор $\vec{BC}$ (показан красным цветом) является результатом сложения вектора $\vec{AC}$ (синий) и вектора $\vec{BA}$ (синий пунктирный), который равен $-\vec{AB}$.

Ответ: $\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}$

1.23. На стороне $BC$ треугольника $ABC$ дана точка $D$. Выразите вектор $\vec{BD}$ через векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$.

Рассмотрим точки $A$, $B$ и $D$. Эти три точки образуют треугольник $ABD$. На представленном ниже рисунке векторы $\vec{AB}$ (синий), $\vec{AD}$ (красный) и искомый вектор $\vec{BD}$ (зеленый) являются его сторонами. Условие, что точка $D$ лежит на стороне $BC$ треугольника $ABC$, определяет взаимное расположение точек.

Согласно правилу сложения векторов (правило треугольника), для векторов в треугольнике $ABD$ справедливо следующее равенство:

$\vec{AB} + \vec{BD} = \vec{AD}$

Чтобы выразить вектор $\vec{BD}$ через векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$, преобразуем это равенство, перенеся вектор $\vec{AB}$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB}$

Ответ: $\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB}$

1.24. Дан параллелограмм ABCD. Найдите разность векторов:

1) $\vec{AB} - \vec{AC}$

2) $\vec{BC} - \vec{CD}$

Для решения задачи воспользуемся правилами действий над векторами и свойствами параллелограмма $ABCD$.

1)

Требуется найти разность векторов $\vec{AB} - \vec{AC}$.
По определению разности двух векторов, имеющих общее начало (в данном случае точка A), их разностью $\vec{a} - \vec{b}$ является вектор, который соединяет конец вычитаемого вектора ($\vec{b}$) с концом уменьшаемого вектора ($\vec{a}$).
В нашем случае, вектором разности будет вектор, идущий из конца вектора $\vec{AC}$ (то есть из точки C) в конец вектора $\vec{AB}$ (то есть в точку B).
Таким образом, получаем:
$\vec{AB} - \vec{AC} = \vec{CB}$
Этот результат можно также получить алгебраически. Заменим вычитание сложением с противоположным вектором. Вектор $-\vec{AC}$ равен вектору $\vec{CA}$.
$\vec{AB} - \vec{AC} = \vec{AB} + (-\vec{AC}) = \vec{AB} + \vec{CA}$
Используя переместительное свойство сложения и правило треугольника:
$\vec{CA} + \vec{AB} = \vec{CB}$
Ответ: $\vec{CB}$.

2)

Требуется найти разность векторов $\vec{BC} - \vec{CD}$.
В параллелограмме $ABCD$ противолежащие стороны равны и параллельны, поэтому векторы, построенные на них и имеющие одинаковое направление, равны. В частности, $\vec{AB} = \vec{DC}$.
Вектор $\vec{CD}$ является противоположным вектору $\vec{DC}$, то есть $\vec{CD} = -\vec{DC}$.
Используя равенство $\vec{DC} = \vec{AB}$, получаем:
$\vec{CD} = -\vec{AB}$
Теперь подставим это выражение в исходную разность:
$\vec{BC} - \vec{CD} = \vec{BC} - (-\vec{AB}) = \vec{BC} + \vec{AB}$
Применим переместительное свойство сложения векторов:
$\vec{BC} + \vec{AB} = \vec{AB} + \vec{BC}$
По правилу треугольника (последовательного сложения векторов), сумма векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ равна вектору, соединяющему начало первого вектора (точка A) с концом второго вектора (точка C).
Следовательно:
$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$
Ответ: $\vec{AC}$.

1.25. Найдите разность векторов:

1) $\vec{AB} - \vec{AC}$;

2) $\vec{AC} - \vec{AB}$;

3) $\vec{PQ} - \vec{PR}$;

4) $(\vec{AB} - \vec{AC}) - \vec{CD}$;

5) $\vec{MN} - \vec{NN}$.

1) Для нахождения разности векторов $\vec{AB} - \vec{AC}$, которые исходят из одной точки A, можно воспользоваться правилом вычитания векторов. Разность двух векторов, проведенных из одной точки, — это вектор, соединяющий их концы и направленный от конца вычитаемого вектора к концу уменьшаемого вектора.
Геометрически, если рассмотреть треугольник ABC, то по правилу сложения векторов (правило треугольника) имеем: $\vec{AC} + \vec{CB} = \vec{AB}$.
Выразим из этого равенства вектор $\vec{CB}$:
$\vec{CB} = \vec{AB} - \vec{AC}$.
Другой способ — это заменить вычитание сложением с противоположным вектором. Вектор, противоположный $\vec{AC}$, — это $\vec{CA}$.
$\vec{AB} - \vec{AC} = \vec{AB} + (-\vec{AC}) = \vec{AB} + \vec{CA}$.
Используя правило сложения векторов "цепочкой" (правило Шаля), получаем: $\vec{CA} + \vec{AB} = \vec{CB}$.
Ответ: $\vec{CB}$.

2) Разность векторов $\vec{AC} - \vec{AB}$ находится аналогично предыдущему пункту. Векторы исходят из одной точки A.
Используя правило треугольника для векторов в треугольнике ABC, получаем: $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.
Выражая из этого равенства вектор $\vec{BC}$, получаем: $\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}$.
Также можно заметить, что данное выражение является противоположным выражению из пункта 1:
$\vec{AC} - \vec{AB} = -(\vec{AB} - \vec{AC})$.
Поскольку из пункта 1 мы знаем, что $\vec{AB} - \vec{AC} = \vec{CB}$, то:
$\vec{AC} - \vec{AB} = -(\vec{CB}) = \vec{BC}$.
Ответ: $\vec{BC}$.

3) Разность векторов $\vec{PQ} - \vec{PR}$ вычисляется по тому же правилу, что и в пункте 1, так как оба вектора исходят из одной точки P.
Для точек P, Q, R по правилу треугольника: $\vec{PR} + \vec{RQ} = \vec{PQ}$.
Отсюда следует, что искомая разность равна вектору $\vec{RQ}$:
$\vec{RQ} = \vec{PQ} - \vec{PR}$.
Ответ: $\vec{RQ}$.

4) Данное выражение $(\vec{AB} - \vec{AC}) - \vec{CD}$ решается в два шага.
Сначала выполним действие в скобках. Как мы выяснили в пункте 1, разность $\vec{AB} - \vec{AC}$ равна вектору $\vec{CB}$.
$\vec{AB} - \vec{AC} = \vec{CB}$.
Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:
$(\vec{AB} - \vec{AC}) - \vec{CD} = \vec{CB} - \vec{CD}$.
Далее находим разность векторов $\vec{CB} - \vec{CD}$, которые исходят из одной точки C. По аналогии с предыдущими пунктами (используя правило треугольника для точек C, D, B):
$\vec{CD} + \vec{DB} = \vec{CB}$.
Следовательно, $\vec{DB} = \vec{CB} - \vec{CD}$.
Ответ: $\vec{DB}$.

5) В выражении $\vec{MN} - \vec{NN}$ вектор $\vec{NN}$ — это вектор, у которого начало и конец совпадают в точке N. Такой вектор называется нулевым вектором и обозначается как $\vec{0}$. Его длина равна нулю.
$\vec{NN} = \vec{0}$.
Следовательно, выражение можно переписать так:
$\vec{MN} - \vec{NN} = \vec{MN} - \vec{0}$.
Вычитание нулевого вектора из любого вектора не изменяет этот вектор.
$\vec{MN} - \vec{0} = \vec{MN}$.
Ответ: $\vec{MN}$.

1.26. Дан параллелограмм ABCD. Постройте сумму векторов:

1) $ \vec{BD} + \vec{AC} $;

2) $ \vec{AB} + \vec{DC} $;

3) $ \vec{AD} + \vec{CB} $.

Дан параллелограмм $ABCD$. Это означает, что его противолежащие стороны параллельны и равны по длине. В векторной форме это можно записать как $\vec{AB} = \vec{DC}$ и $\vec{AD} = \vec{BC}$. Для решения задачи воспользуемся этими свойствами, а также правилами сложения векторов.

1) $\vec{BD} + \vec{AC}$

Для нахождения суммы векторов $\vec{BD}$ и $\vec{AC}$ (диагоналей параллелограмма), выразим их через векторы сторон, выходящих из одной вершины, например, $A$. Пусть $\vec{AD} = \vec{a}$ и $\vec{AB} = \vec{b}$.
По правилу параллелограмма для сложения векторов, диагональ $\vec{AC}$ является суммой векторов сторон $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ (так как $\vec{BC} = \vec{AD}$):
$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{b} + \vec{a}$.
Вторую диагональ $\vec{BD}$ можно выразить как разность векторов $\vec{AD}$ и $\vec{AB}$ (по правилу треугольника $\vec{AB} + \vec{BD} = \vec{AD}$):
$\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB} = \vec{a} - \vec{b}$.
Теперь сложим полученные выражения:
$\vec{BD} + \vec{AC} = (\vec{a} - \vec{b}) + (\vec{a} + \vec{b}) = \vec{a} - \vec{b} + \vec{a} + \vec{b} = 2\vec{a} = 2\vec{AD}$.
Таким образом, сумма векторов диагоналей параллелограмма равна удвоенному вектору одной из его сторон. Так как $\vec{AD} = \vec{BC}$, результат можно также записать как $2\vec{BC}$.
Построение: Искомый вектор — это вектор $\vec{AE}$, который начинается в точке $A$, направлен вдоль стороны $AD$ и имеет длину, вдвое большую длины стороны $AD$. Точка $D$ является серединой отрезка $AE$.

Ответ: $2\vec{AD}$ (или $2\vec{BC}$).

2) $\vec{AB} + \vec{DC}$

В параллелограмме $ABCD$ противолежащие стороны $AB$ и $DC$ параллельны и равны по длине. Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ сонаправлены (имеют одинаковое направление) и равны по модулю. Следовательно, эти векторы равны: $\vec{AB} = \vec{DC}$.
Тогда сумма векторов равна:
$\vec{AB} + \vec{DC} = \vec{AB} + \vec{AB} = 2\vec{AB}$.
Построение: Искомый вектор — это вектор $\vec{AF}$, который начинается в точке $A$, направлен вдоль стороны $AB$ и имеет длину, вдвое большую длины стороны $AB$. Точка $B$ является серединой отрезка $AF$.

Ответ: $2\vec{AB}$ (или $2\vec{DC}$).

3) $\vec{AD} + \vec{CB}$

В параллелограмме $ABCD$ противолежащие стороны $AD$ и $BC$ параллельны и равны по длине. Вектор $\vec{AD}$ направлен от $A$ к $D$. Вектор $\vec{BC}$ сонаправлен с вектором $\vec{AD}$, то есть $\vec{AD} = \vec{BC}$.
Вектор $\vec{CB}$ направлен от $C$ к $B$, то есть он противоположен вектору $\vec{BC}$. Следовательно:
$\vec{CB} = -\vec{BC}$.
Так как $\vec{AD} = \vec{BC}$, то можно записать, что $\vec{CB} = -\vec{AD}$.
Теперь найдем сумму векторов:
$\vec{AD} + \vec{CB} = \vec{AD} + (-\vec{AD}) = \vec{0}$.
Сумма двух противоположных векторов равна нулевому вектору. Нулевой вектор — это вектор, у которого начало и конец совпадают. Его длина равна нулю, а направление не определено.
Построение: Если отложить вектор $\vec{AD}$ из точки $A$, а затем от его конца (точки $D$) отложить вектор $\vec{CB}$, то конец второго вектора совпадет с началом первого (точкой $A$), так как $\vec{CB} = \vec{DA}$. Результирующий вектор $\vec{AA}$ является нулевым вектором и изображается точкой.

Ответ: $\vec{0}$ (нулевой вектор).

1.27. Дан параллелограмм ABCD. Найдите векторы:

1) $\left(\vec{OA} - \vec{OB}\right) + \vec{AC}$;

2) $\left(\vec{AB} - \vec{AO}\right) - \vec{OD}$.

Точка O является точкой пересечения диагоналей параллелограмма.

Дан параллелограмм $ABCD$, точка $O$ — точка пересечения его диагоналей. Для наглядности решения воспользуемся схематическим рисунком.

1) $(\vec{OA} - \vec{OB}) + \vec{AC}$

Первым шагом упростим выражение в скобках. По правилу вычитания векторов, отложенных из одной точки, разность векторов $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$ равна вектору $\vec{BA}$, который соединяет их концы и направлен от конца вычитаемого вектора ($B$) к концу уменьшаемого ($A$).
Таким образом, получаем: $\vec{OA} - \vec{OB} = \vec{BA}$.
Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:
$(\vec{OA} - \vec{OB}) + \vec{AC} = \vec{BA} + \vec{AC}$.
Далее воспользуемся правилом треугольника для сложения векторов. Сумма векторов $\vec{BA}$ и $\vec{AC}$ (где начало второго вектора совпадает с концом первого) равна вектору, идущему из начальной точки первого вектора ($B$) в конечную точку второго вектора ($C$).
Следовательно, $\vec{BA} + \vec{AC} = \vec{BC}$.
Ответ: $\vec{BC}$.

2) $(\vec{AB} - \vec{AO}) - \vec{OD}$

Сначала упростим выражение в скобках. По правилу вычитания векторов, отложенных из одной точки, разность $\vec{AB} - \vec{AO}$ равна вектору $\vec{OB}$.
Подставим это в исходное выражение:
$(\vec{AB} - \vec{AO}) - \vec{OD} = \vec{OB} - \vec{OD}$.
В параллелограмме диагонали в точке пересечения делятся пополам. Следовательно, точка $O$ является серединой диагонали $BD$.
Это означает, что векторы $\vec{BO}$ и $\vec{OD}$ равны, так как они сонаправлены (направлены из $B$ в $D$) и имеют одинаковую длину: $\vec{BO} = \vec{OD}$.
Вектор $\vec{OB}$ является противоположным вектору $\vec{BO}$, то есть $\vec{OB} = -\vec{BO}$.
Преобразуем выражение $\vec{OB} - \vec{OD}$, используя $\vec{OB} = -\vec{BO}$:
$\vec{OB} - \vec{OD} = -\vec{BO} - \vec{OD}$.
Так как $\vec{BO} = \vec{OD}$, заменим $\vec{BO}$ на $\vec{OD}$:
$-\vec{OD} - \vec{OD} = -2\vec{OD}$.
Вектор диагонали $\vec{BD}$ равен сумме векторов $\vec{BO}$ и $\vec{OD}$. Так как $\vec{BO} = \vec{OD}$, то $\vec{BD} = \vec{OD} + \vec{OD} = 2\vec{OD}$.
Отсюда следует, что $-2\vec{OD} = -\vec{BD}$.
Вектор $-\vec{BD}$ — это вектор, противоположный вектору $\vec{BD}$, то есть вектор $\vec{DB}$.
Ответ: $\vec{DB}$.

1.28. В треугольнике $ABC$ $AB = 6$ см, $BC = 8$ см, $\angle B = 90^\circ$.

Найдите:

1) $| \vec{BA} | - | \vec{BC} |$ и $| \vec{BA} - \vec{BC} |$;

2) $| \vec{AB} | + | \vec{BC} |$ и $| \vec{AB} + \vec{BC} |$;

3) $| \vec{BA} | + | \vec{BC} |$ и $| \vec{BA} + \vec{BC} |$;

4) $| \vec{AB} | - | \vec{BC} |$ и $| \vec{AB} - \vec{BC} |$.

В задаче дан прямоугольный треугольник $ABC$ с катетами $AB = 6$ см и $BC = 8$ см и прямым углом при вершине $B$ ($\angle B = 90^\circ$).

Прежде всего, найдем длины (модули) векторов, которые нам известны из условия:

$|\vec{AB}| = AB = 6$ см.

$|\vec{BC}| = BC = 8$ см.

Вектор $\vec{BA}$ противоположен вектору $\vec{AB}$, но его длина (модуль) такая же: $|\vec{BA}| = |\vec{AB}| = 6$ см.

Для дальнейших вычислений найдем длину гипотенузы $AC$ по теореме Пифагора:

$AC^2 = AB^2 + BC^2$

$AC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$

$AC = \sqrt{100} = 10$ см.

Таким образом, модуль вектора $\vec{AC}$ (и противоположного ему $\vec{CA}$) равен $10$ см: $|\vec{AC}| = |\vec{CA}| = 10$ см.

Теперь решим каждый пункт задачи.

1) $|\vec{BA}|-|\vec{BC}|$ и $|\vec{BA}-\vec{BC}|$

Первое выражение — это разность модулей (длин) векторов:
$|\vec{BA}| - |\vec{BC}| = 6 - 8 = -2$ см.

Второе выражение — это модуль разности векторов. Разность векторов $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$, выходящих из одной точки B, — это вектор, соединяющий их концы, направленный от вычитаемого к уменьшаемому, то есть вектор $\vec{CA}$.
$\vec{BA} - \vec{BC} = \vec{CA}$.
Следовательно, нам нужно найти модуль вектора $\vec{CA}$:
$|\vec{BA} - \vec{BC}| = |\vec{CA}| = AC = 10$ см.

Ответ: $-2$ см и $10$ см.

2) $|\vec{AB}|+|\vec{BC}|$ и $|\vec{AB}+\vec{BC}|$

Первое выражение — это сумма модулей (длин) векторов:
$|\vec{AB}| + |\vec{BC}| = 6 + 8 = 14$ см.

Второе выражение — это модуль суммы векторов. По правилу треугольника для сложения векторов, где конец первого вектора совпадает с началом второго, их сумма — это вектор, соединяющий начало первого с концом второго.
$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.
Следовательно, нам нужно найти модуль вектора $\vec{AC}$:
$|\vec{AB} + \vec{BC}| = |\vec{AC}| = AC = 10$ см.

Ответ: $14$ см и $10$ см.

3) $|\vec{BA}|+|\vec{BC}|$ и $|\vec{BA}+\vec{BC}|$

Первое выражение — это сумма модулей (длин) векторов:
$|\vec{BA}| + |\vec{BC}| = 6 + 8 = 14$ см.

Второе выражение — это модуль суммы векторов, выходящих из одной точки B. По правилу параллелограмма, их сумма — это вектор, совпадающий с диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах и выходящей из той же точки. Так как $\angle B = 90^\circ$, этот параллелограмм является прямоугольником, а его диагональ равна по длине гипотенузе $AC$.
$|\vec{BA} + \vec{BC}| = AC = 10$ см.

Ответ: $14$ см и $10$ см.

4) $|\vec{AB}|-|\vec{BC}|$ и $|\vec{AB}-\vec{BC}|$

Первое выражение — это разность модулей (длин) векторов:
$|\vec{AB}| - |\vec{BC}| = 6 - 8 = -2$ см.

Второе выражение — это модуль разности векторов. Заменим вычитание сложением с противоположным вектором:
$\vec{AB} - \vec{BC} = \vec{AB} + (-\vec{BC})$.
Так как $-\vec{BC} = \vec{CB}$, получаем:
$\vec{AB} + \vec{CB} = \vec{CB} + \vec{AB}$.
По правилу треугольника, эта сумма равна вектору $\vec{CA}$.
$|\vec{AB} - \vec{BC}| = |\vec{CA}| = AC = 10$ см.

Ответ: $-2$ см и $10$ см.

1.29. Самолет сначала пролетел 200 км на северо-восток, а затем – 300 км на восток. Изобразите векторами весь путь самолета и найдите расстояние, на которое удалился самолет от первоначального пункта вылета.

Изобразите векторами весь путь самолета

Путь самолета состоит из двух последовательных перемещений, которые можно представить в виде векторов. Первое перемещение — это вектор $\vec{s_1}$ длиной 200 км, направленный на северо-восток (под углом 45° к направлению на восток). Второе перемещение — вектор $\vec{s_2}$ длиной 300 км, направленный на восток. Результирующий вектор $\vec{s}$ представляет собой сумму этих векторов $\vec{s} = \vec{s_1} + \vec{s_2}$ и показывает конечное смещение самолета от точки вылета A.

Ответ: Изображение пути самолета в виде векторов представлено на схеме выше.

найдите расстояние, на которое удалился самолет от первоначального пункта вылета

Для нахождения итогового расстояния воспользуемся методом разложения векторов на компоненты. Введем систему координат, в которой ось Ox направлена на восток, а ось Oy — на север. Начало отсчета — точка вылета А.

Компоненты первого вектора $\vec{s_1}$ (200 км на северо-восток):
$s_{1x} = |\vec{s_1}| \cdot \cos(45^\circ) = 200 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 100\sqrt{2}$ км.
$s_{1y} = |\vec{s_1}| \cdot \sin(45^\circ) = 200 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 100\sqrt{2}$ км.

Компоненты второго вектора $\vec{s_2}$ (300 км на восток):
$s_{2x} = 300$ км.
$s_{2y} = 0$ км.

Компоненты результирующего вектора $\vec{s}$ равны сумме компонент исходных векторов:
$s_x = s_{1x} + s_{2x} = 100\sqrt{2} + 300$ км.
$s_y = s_{1y} + s_{2y} = 100\sqrt{2} + 0 = 100\sqrt{2}$ км.

Расстояние от первоначального пункта — это длина (модуль) результирующего вектора $|\vec{s}|$, которую найдем по теореме Пифагора:
$|\vec{s}| = \sqrt{s_x^2 + s_y^2} = \sqrt{(300 + 100\sqrt{2})^2 + (100\sqrt{2})^2}$
$|\vec{s}|^2 = (300^2 + 2 \cdot 300 \cdot 100\sqrt{2} + (100\sqrt{2})^2) + (100\sqrt{2})^2$
$|\vec{s}|^2 = 90000 + 60000\sqrt{2} + 20000 + 20000 = 130000 + 60000\sqrt{2}$
$|\vec{s}| = \sqrt{130000 + 60000\sqrt{2}}$ км.

Вычислим численное значение, приняв $\sqrt{2} \approx 1.4142$:
$|\vec{s}| \approx \sqrt{130000 + 60000 \cdot 1.4142} = \sqrt{130000 + 84852} = \sqrt{214852} \approx 463.52$ км.

Ответ: Самолет удалился от первоначального пункта вылета на расстояние $\sqrt{130000 + 60000\sqrt{2}}$ км, что приблизительно равно 463,5 км.

1.30. От пристани отплыла лодка в направлении, перпендикулярном относительно течения реки, ширина которой равна $a$. Известно, что скорость течения реки равна $v_1$, а скорость лодки $v_2$. На какое расстояние удалится лодка от пристани по истечению времени $t$? Как определить длину пути лодки?

Для решения задачи введем декартову систему координат. Пусть пристань, от которой отплывает лодка, находится в начале координат (0, 0). Направим ось OY перпендикулярно течению реки, в направлении, в котором лодка начинает движение относительно воды. Ось OX направим вдоль течения реки.

В этой системе координат вектор скорости течения реки $\vec{v}_1$ направлен вдоль оси OX, а вектор скорости лодки относительно воды $\vec{v}_2$ направлен вдоль оси OY. Результирующая скорость лодки относительно берега $\vec{v}$ находится по принципу суперпозиции (сложения) скоростей:

$\vec{v} = \vec{v}_1 + \vec{v}_2$

Так как векторы $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$ взаимно перпендикулярны, движение лодки относительно берега будет происходить по прямой линии под некоторым углом к берегу.

На какое расстояние удалится лодка от пристани по истечению времени t?

Движение лодки является равномерным и прямолинейным. Её перемещение по каждой из осей за время $t$ можно рассчитать независимо:

Смещение вдоль течения (по оси OX): $x = v_1 \cdot t$

Смещение поперек течения (по оси OY): $y = v_2 \cdot t$

Расстояние $S$ от пристани (начала координат) до точки, в которой окажется лодка, является длиной гипотенузы в прямоугольном треугольнике с катетами $x$ и $y$. По теореме Пифагора:

$S = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(v_1 t)^2 + (v_2 t)^2}$

Вынесем общий множитель $t^2$ из-под знака корня:

$S = \sqrt{t^2(v_1^2 + v_2^2)} = t\sqrt{v_1^2 + v_2^2}$

Ответ: $S = t\sqrt{v_1^2 + v_2^2}$

Как определить длину пути лодки?

Длина пути — это расстояние, пройденное телом вдоль траектории. Поскольку в данном случае лодка движется прямолинейно с постоянной скоростью, её путь $L$ равен произведению модуля её результирующей скорости $v$ на время движения $t$.

Модуль результирующей скорости $v = |\vec{v}|$ можно найти по теореме Пифагора, так как компоненты скорости $v_1$ и $v_2$ перпендикулярны:

$v = |\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}$

Следовательно, длина пути $L$ за время $t$ определяется по формуле:

$L = v \cdot t = t\sqrt{v_1^2 + v_2^2}$

Таким образом, для прямолинейного движения с постоянной скоростью, начавшегося из точки покоя, длина пути численно равна расстоянию от начальной точки.

Параметр "ширина реки $a$" не требуется для ответа на поставленные вопросы, если время $t$ задано. Однако, если бы требовалось найти длину пути, который лодка пройдет для пересечения реки, то время движения $t_{cross}$ нужно было бы определить через ширину реки $a$ и скорость $v_2$, перпендикулярную берегу: $t_{cross} = a/v_2$. Тогда длина пути была бы $L_{cross} = \frac{a}{v_2}\sqrt{v_1^2 + v_2^2}$.

Ответ: Длину пути лодки $L$ определяют, умножая модуль её результирующей скорости $v = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}$ на время движения $t$. Формула для вычисления: $L = t\sqrt{v_1^2 + v_2^2}$.