Страница 26 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА

Желание Труд Талант Творчество Успех

$ \vec{u} = \vec{q} + \vec{t_1} + \vec{t_2} + \vec{t_3} $ — «формула успеха»

1. В паре или группе проанализируйте «формулу успеха». Результаты анализа обсудите со всем классом.

2. Возьмите попарно неколлинеарные векторы $ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}, \vec{e} $ и постройте сумму векторов:

а) $ \vec{a} + \vec{b} $;

б) $ \vec{c} + \vec{d} $;

в) $ \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} $;

г) $ \vec{b} + \vec{c} + \vec{d} + \vec{e} $;

д) $ \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d} + \vec{e} $.

3. Возьмите взаимно неколлинеарные векторы $ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} $ и постройте вектор:

а) $ \vec{a} - \vec{b} $;

б) $ \vec{b} - \vec{a} $;

в) $ \vec{c} - \vec{a} $;

г) $ -\vec{b} $;

д) $ (\vec{a} - \vec{b}) - \vec{c} $.

4. Возьмите взаимно коллинеарные векторы $ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} $ ($ \vec{a} \uparrow \uparrow \vec{b} \uparrow \downarrow \vec{c} $) и постройте вектор:

а) $ \vec{a} + \vec{b} $;

б) $ \vec{b} + \vec{c} $;

в) $ \vec{a} - \vec{b} $;

г) $ \vec{a} - \vec{c} $.

5. В паре выполните нижеследующее задание.

На листе бумаги начертите пару пересекающихся прямых и некоторый ненулевой вектор $ \vec{a} $ и обменяйтесь бумагами. На полученном листе бумаги разложите вектор $ \vec{a} $ по составляющим векторам, расположенным на данных пересекающихся прямых.

1. В представленной «формуле успеха» $\vec{u} = \vec{q} + \vec{t_1} + \vec{t_2} + \vec{t_3}$ используется язык векторов для метафорического описания пути к достижению цели. Здесь «Успех» ($\vec{u}$) представлен как результирующий вектор, который является суммой нескольких других векторов, символизирующих ключевые компоненты этого процесса.

Анализ формулы:

1. Начальная точка: «Желание» ($\vec{q}$) является первым вектором. Это означает, что любое движение к успеху начинается с желания или цели. Направление этого вектора задает первоначальный курс, а его длина (модуль) — силу этого желания.

2. Последовательные шаги: К вектору «Желание» последовательно добавляются векторы «Труд» ($\vec{t_1}$), «Талант» ($\vec{t_2}$) и «Творчество» ($\vec{t_3}$). Это показано с помощью правила многоугольника для сложения векторов: начало каждого следующего вектора совпадает с концом предыдущего. Такая последовательность иллюстрирует, что для достижения успеха необходимо приложить труд, использовать свои таланты и проявить творческий подход. Каждый из этих компонентов вносит свой вклад, изменяя траекторию и приближая к конечной цели.

3. Результат: Вектор «Успех» ($\vec{u}$) соединяет начальную точку («старт», начало вектора «Желание») с конечной точкой (конец вектора «Творчество»). Он представляет собой самый короткий и прямой путь от постановки цели до её достижения. Длина вектора $\vec{u}$ символизирует величину или значимость достигнутого успеха. Чем длиннее этот вектор, тем значительнее успех.

4. Взаимосвязь компонентов: Формула показывает, что успех — это не результат одного фактора, а сумма нескольких. Отсутствие или малость одного из компонентов (например, если вектор «Труд» будет очень коротким или нулевым) приведёт к изменению результирующего вектора «Успех» — он станет короче или изменит свое направление. Это означает, что итоговый успех будет менее значительным или вообще не тем, который ожидался.

Таким образом, данная «формула» — это наглядная модель, которая учит, что успех является комплексным достижением, требующим сочетания желания, упорного труда, природных способностей и творческого подхода.

Ответ: Выше представлен подробный анализ «формулы успеха».

2. Для построения суммы векторов используется правило многоугольника (или правило треугольника для двух векторов). Суть правила: начало каждого следующего вектора прикладывается к концу предыдущего. Результирующий вектор (сумма) направлен от начала первого вектора к концу последнего.

а) Построение суммы $\vec{a} + \vec{b}$.

Ответ: Построение показано на рисунке.

б) Построение суммы $\vec{c} + \vec{d}$.

Ответ: Построение показано на рисунке.

в) Построение суммы $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$.

Ответ: Построение показано на рисунке.

г) Построение суммы $\vec{b} + \vec{c} + \vec{d} + \vec{e}$.

Ответ: Построение показано на рисунке.

д) Построение суммы $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d} + \vec{e}$.

Ответ: Построение показано на рисунке.

3. Разность векторов $\vec{a} - \vec{b}$ определяется как сумма вектора $\vec{a}$ и вектора, противоположного $\vec{b}$, то есть $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$. Вектор $-\vec{b}$ имеет ту же длину, что и $\vec{b}$, но направлен в противоположную сторону. Другой способ построения — правило треугольника для разности: если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ отложены от одной точки, то вектор разности $\vec{a} - \vec{b}$ соединяет конец вектора $\vec{b}$ с концом вектора $\vec{a}$.

а) Построение вектора $\vec{a} - \vec{b}$.

Ответ: Построение показано на рисунке.

б) Построение вектора $\vec{b} - \vec{a}$. Этот вектор противоположен вектору $\vec{a} - \vec{b}$.

Ответ: Построение показано на рисунке.

в) Построение вектора $\vec{c} - \vec{a}$.

Ответ: Построение показано на рисунке.

г) Построение вектора $\vec{a} - \vec{c}$. (Предполагаем, что в условии опечатка, и вместо $\vec{r}$ или $\vec{г}$ должен быть один из заданных векторов, например $\vec{a}$. Выражение $\vec{a} - \vec{c}$ является противоположным вектору из пункта в).)

Ответ: Построение показано на рисунке.

д) Построение вектора $(\vec{a} - \vec{b}) - \vec{c}$. Сначала строим вектор $\vec{d} = \vec{a} - \vec{b}$, затем строим $\vec{d} - \vec{c}$.

Ответ: Построение показано на рисунке.

4. Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены ($\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$), а вектор $\vec{c}$ противонаправлен им ($\vec{b} \uparrow\downarrow \vec{c}$). При сложении и вычитании коллинеарных векторов их длины складываются или вычитаются, а направление определяется направлением «сильнейшего» вектора или сохраняется.

а) Построение вектора $\vec{a} + \vec{b}$. Так как векторы сонаправлены, их сумма будет вектором, сонаправленным с ними, а его длина равна сумме длин: $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$.

Ответ: Построение показано на рисунке.

б) Построение вектора $\vec{b} + \vec{c}$. Векторы противонаправлены. Длина результирующего вектора равна разности их длин: $||\vec{b}| - |\vec{c}||$. Направление совпадает с направлением вектора большей длины. На рисунке предположим, что $|\vec{b}| < |\vec{c}|$.

Ответ: Построение показано на рисунке.

в) Построение вектора $\vec{a} - \vec{b}$. Это то же самое, что $\vec{a} + (-\vec{b})$. Так как $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$, то $\vec{a} \uparrow\downarrow (-\vec{b})$. На рисунке предположим, что $|\vec{a}| > |\vec{b}|$.

Ответ: Построение показано на рисунке.

г) Построение вектора $\vec{a} - \vec{c}$. Это то же самое, что $\vec{a} + (-\vec{c})$. Так как $\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{c}$, то $\vec{a} \uparrow\uparrow (-\vec{c})$. Сложение сонаправленных векторов.

Ответ: Построение показано на рисунке.

5. Задача состоит в том, чтобы разложить данный вектор $\vec{a}$ на два составляющих вектора ($\vec{a_1}$ и $\vec{a_2}$), которые лежат на двух заданных пересекающихся прямых $l_1$ и $l_2$. Это обратная операция по отношению к сложению векторов по правилу параллелограмма.

Порядок действий:

1. Перенесем вектор $\vec{a}$ так, чтобы его начало совпало с точкой пересечения прямых $l_1$ и $l_2$. Обозначим эту точку как $O$. Конец вектора $\vec{a}$ окажется в точке $A$.

2. Через точку $A$ (конец вектора $\vec{a}$) проведем прямую, параллельную прямой $l_2$, до её пересечения с прямой $l_1$. Точку пересечения обозначим $A_1$.

3. Аналогично, через точку $A$ проведем прямую, параллельную прямой $l_1$, до её пересечения с прямой $l_2$. Точку пересечения обозначим $A_2$.

4. Полученные векторы $\vec{a_1} = \vec{OA_1}$ и $\vec{a_2} = \vec{OA_2}$ и являются искомыми составляющими. Вектор $\vec{a_1}$ лежит на прямой $l_1$, а вектор $\vec{a_2}$ — на прямой $l_2$.

5. По построению четырехугольник $OA_1AA_2$ является параллелограммом, в котором $\vec{OA}$ является диагональю. Следовательно, по правилу параллелограмма, $\vec{a} = \vec{a_1} + \vec{a_2}$.

Ответ: Алгоритм разложения вектора на составляющие и графическая иллюстрация представлены выше.

1.18. Дан четырехугольник ABCD. Докажите, что:

1) $\vec{AB} + \vec{BD} = \vec{AC} + \vec{CD}$;

2) $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AD} + \vec{DC}$.

1) Для доказательства равенства $\vec{AB} + \vec{BD} = \vec{AC} + \vec{CD}$ воспользуемся правилом треугольника для сложения векторов (правилом Шаля). Согласно этому правилу, для любых трех точек $X, Y, Z$ справедливо равенство $\vec{XY} + \vec{YZ} = \vec{XZ}$.

Рассмотрим левую часть доказываемого равенства: $\vec{AB} + \vec{BD}$. По правилу треугольника для точек A, B и D, сумма векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BD}$ равна вектору, идущему из начальной точки первого вектора (A) в конечную точку второго вектора (D). Таким образом:

$ \vec{AB} + \vec{BD} = \vec{AD} $

Теперь рассмотрим правую часть доказываемого равенства: $\vec{AC} + \vec{CD}$. По правилу треугольника для точек A, C и D, сумма векторов $\vec{AC}$ и $\vec{CD}$ равна вектору, идущему из начальной точки первого вектора (A) в конечную точку второго вектора (D). Таким образом:

$ \vec{AC} + \vec{CD} = \vec{AD} $

Поскольку и левая, и правая части исходного равенства равны одному и тому же вектору $\vec{AD}$, данное равенство является верным.

Ответ: Равенство $\vec{AB} + \vec{BD} = \vec{AC} + \vec{CD}$ доказано.

2) Для доказательства равенства $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AD} + \vec{DC}$ также воспользуемся правилом треугольника для сложения векторов.

Рассмотрим левую часть равенства: $\vec{AB} + \vec{BC}$. Применив правило треугольника для точек A, B и C, получим вектор, соединяющий начальную точку A и конечную точку C:

$ \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC} $

Теперь рассмотрим правую часть равенства: $\vec{AD} + \vec{DC}$. Применив правило треугольника для точек A, D и C, получим вектор, соединяющий начальную точку A и конечную точку C:

$ \vec{AD} + \vec{DC} = \vec{AC} $

Поскольку левая и правая части исходного равенства равны одному и тому же вектору $\vec{AC}$, данное равенство является верным.

Ответ: Равенство $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AD} + \vec{DC}$ доказано.

1.19. Дан параллелограмм ABCD. Суммой каких векторов является вектор:

1) $\vec{CA}$;

2) $\vec{DA}$?

Для решения задачи воспользуемся правилами сложения векторов и свойствами параллелограмма $ABCD$. В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны, поэтому соответствующие им векторы равны: $\vec{AB} = \vec{DC}$ и $\vec{AD} = \vec{BC}$. Аналогично, для векторов, направленных в противоположную сторону: $\vec{BA} = \vec{CD}$ и $\vec{DA} = \vec{CB}$.

1) $\vec{CA}$

Вектор $\vec{CA}$ является диагональю параллелограмма. Его можно представить как сумму векторов, составляющих стороны параллелограмма, выходящие из одной точки. По правилу параллелограмма, сумма векторов $\vec{CB}$ и $\vec{CD}$, выходящих из вершины $C$, равна вектору диагонали $\vec{CA}$, выходящей из той же вершины.

Таким образом, получаем равенство: $\vec{CA} = \vec{CB} + \vec{CD}$.

Этот же результат можно получить, используя правило треугольника. В треугольнике $ABC$ имеем: $\vec{CA} = \vec{CB} + \vec{BA}$. Поскольку в параллелограмме $ABCD$ верно, что $\vec{BA} = \vec{CD}$, мы можем заменить $\vec{BA}$ на $\vec{CD}$ и получить то же самое выражение.

Ответ: $\vec{CA} = \vec{CB} + \vec{CD}$.

2) $\vec{DA}$

Вектор $\vec{DA}$ является стороной параллелограмма. Чтобы представить его в виде суммы, применим правило треугольника (или правило замыкающего вектора). Рассмотрим путь из точки $D$ в точку $A$. Этот путь можно составить из двух последовательных перемещений, например, из $D$ в $B$, а затем из $B$ в $A$.

Сложение векторов, соответствующих этим перемещениям, дает результирующий вектор: $\vec{DB} + \vec{BA}$. Этот результирующий вектор соединяет начальную точку первого вектора ($D$) с конечной точкой второго ($A$), то есть это вектор $\vec{DA}$.

Следовательно, мы можем записать: $\vec{DA} = \vec{DB} + \vec{BA}$.

Альтернативно, можно рассмотреть путь через точку $C$: $\vec{DA} = \vec{DC} + \vec{CA}$. Оба варианта являются корректными.

Ответ: $\vec{DA} = \vec{DB} + \vec{BA}$ (или $\vec{DA} = \vec{DC} + \vec{CA}$).

1.20. Найдите сумму векторов:

1) $ \vec{AB} + \vec{BC} $;

2) $ \vec{PQ} + \vec{QR} $;

3) $ \vec{MN} + \vec{NN} $;

4) $ \vec{EF} + \vec{DE} $.

1) $\vec{AB} + \vec{BC}$
Для нахождения суммы векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ используется правило треугольника (правило Шаля). Согласно этому правилу, если начало второго вектора ($\vec{BC}$) совпадает с концом первого вектора ($\vec{AB}$), то их сумма — это вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора (точка $A$), а конец — с концом второго вектора (точка $C$).
Таким образом, получаем: $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.
Графически это можно представить в виде треугольника $ABC$, где векторы $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ — это две стороны, а результирующий вектор $\vec{AC}$ — третья сторона, замыкающая треугольник.
Ответ: $\vec{AC}$

2) $\vec{PQ} + \vec{QR}$
Это задание решается аналогично первому, с использованием правила треугольника. Конец вектора $\vec{PQ}$ (точка $Q$) является началом вектора $\vec{QR}$.
Следовательно, сумма этих векторов — это вектор, соединяющий начало первого вектора (точка $P$) с концом второго вектора (точка $R$).
Формула: $\vec{PQ} + \vec{QR} = \vec{PR}$.
Ответ: $\vec{PR}$

3) $\vec{MN} + \vec{NN}$
В этом выражении вектор $\vec{NN}$ — это вектор, у которого начало (точка $N$) и конец (точка $N$) совпадают. Такой вектор называется нулевым вектором (или нуль-вектором) и обозначается как $\vec{0}$. Длина нулевого вектора равна нулю, и он не имеет определенного направления.
Сложение любого вектора с нулевым вектором не изменяет исходный вектор: $\vec{v} + \vec{0} = \vec{v}$.
Поэтому: $\vec{MN} + \vec{NN} = \vec{MN} + \vec{0} = \vec{MN}$.
Ответ: $\vec{MN}$

4) $\vec{EF} + \vec{DE}$
В данном случае конец первого вектора (точка $F$) не совпадает с началом второго (точка $D$). Однако, сложение векторов коммутативно, то есть от перестановки слагаемых сумма не меняется. Поэтому мы можем поменять векторы местами: $\vec{EF} + \vec{DE} = \vec{DE} + \vec{EF}$.
Теперь выражение имеет вид, к которому применимо правило треугольника: конец вектора $\vec{DE}$ (точка $E$) совпадает с началом вектора $\vec{EF}$.
Суммой будет вектор, идущий от начальной точки первого слагаемого (точка $D$) к конечной точке второго (точка $F$).
Следовательно: $\vec{DE} + \vec{EF} = \vec{DF}$.
Ответ: $\vec{DF}$