Страница 29 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.39. Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ имеют общее начало.

1) Взяв в качестве одного из составляющих вектора $\vec{a}$ вектор $\vec{b}$, постройте его второй составляющий вектор $\vec{c}$ ;

2) наоборот, взяв в качестве первого составляющего вектора $\vec{b}$ вектор $\vec{a}$, постройте его второй составляющий вектор $\vec{d}$. Как будут расположены векторы $\vec{c}$ и $\vec{d}$?

Пусть векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ имеют общее начало в точке $O$. Обозначим конец вектора $\vec{a}$ как точку $A$, а конец вектора $\vec{b}$ как точку $B$. Таким образом, мы имеем $\vec{a} = \vec{OA}$ и $\vec{b} = \vec{OB}$. Построим на этих векторах как на сторонах параллелограмм $OADB$.

1) Взяв в качестве одного из составляющих вектора $\vec{a}$ вектор $\vec{b}$, мы ищем второй составляющий вектор $\vec{c}$. Это означает, что вектор $\vec{a}$ является суммой векторов $\vec{b}$ и $\vec{c}$:

$\vec{a} = \vec{b} + \vec{c}$

Чтобы найти вектор $\vec{c}$, выразим его из этого равенства:

$\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}$

Геометрически разность векторов $\vec{a} = \vec{OA}$ и $\vec{b} = \vec{OB}$, выходящих из одной точки $O$, представляет собой вектор, соединяющий их концы (точки $B$ и $A$) и направленный от конца вычитаемого ($\vec{b}$) к концу уменьшаемого ($\vec{a}$). Таким образом, вектор $\vec{c}$ — это вектор, идущий из точки $B$ в точку $A$.

$\vec{c} = \vec{BA}$

На рисунке этот вектор изображен красным цветом.

Ответ: Второй составляющий вектор $\vec{c}$ равен разности векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, то есть $\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}$.

2) Теперь, наоборот, взяв в качестве первого составляющего вектора $\vec{b}$ вектор $\vec{a}$, мы ищем второй составляющий вектор $\vec{d}$. Это означает, что вектор $\vec{b}$ является суммой векторов $\vec{a}$ и $\vec{d}$:

$\vec{b} = \vec{a} + \vec{d}$

Выразим из этого равенства искомый вектор $\vec{d}$:

$\vec{d} = \vec{b} - \vec{a}$

Геометрически этот вектор соединяет концы векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ (точки $A$ и $B$) и направлен от конца вычитаемого ($\vec{a}$) к концу уменьшаемого ($\vec{b}$). Таким образом, вектор $\vec{d}$ — это вектор, идущий из точки $A$ в точку $B$.

$\vec{d} = \vec{AB}$

На рисунке этот вектор изображен зеленым цветом.

Сравним полученные векторы $\vec{c}$ и $\vec{d}$. Мы видим, что $\vec{c} = \vec{BA}$ и $\vec{d} = \vec{AB}$. Эти векторы соединяют одни и те же точки, но направлены в противоположные стороны. Алгебраически:

$\vec{d} = \vec{b} - \vec{a} = -(\vec{a} - \vec{b}) = -\vec{c}$

Векторы, которые равны по модулю и противоположны по направлению, называются противоположными.

Ответ: Второй составляющий вектор $\vec{d}$ равен разности векторов $\vec{b}$ и $\vec{a}$, то есть $\vec{d} = \vec{b} - \vec{a}$. Векторы $\vec{c}$ и $\vec{d}$ являются противоположными ($\vec{d} = -\vec{c}$): они коллинеарны, равны по модулю и направлены в противоположные стороны.

1.40. Можно ли разложить вектор длиной $10$ на составляющие так, чтобы один из составляющих векторов по модулю был равен:

1) $1$;

2) $100$?

Разложение вектора $\vec{c}$ на составляющие $\vec{a}$ и $\vec{b}$ означает, что их векторная сумма равна исходному вектору: $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$. Геометрически это означает, что векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ должны образовывать треугольник (возможно, вырожденный, если векторы коллинеарны). Для длин сторон такого треугольника, которые равны модулям векторов $|\vec{a}|$, $|\vec{b}|$ и $|\vec{c}|$, должно выполняться неравенство треугольника:

$||\vec{a}| - |\vec{b}|| \le |\vec{c}| \le |\vec{a}| + |\vec{b}|$

В нашей задаче дан вектор $\vec{c}$ с модулем $|\vec{c}| = 10$. Обозначим модули составляющих векторов как $a = |\vec{a}|$ и $b = |\vec{b}|$. Тогда условие существования такого разложения можно записать в виде:

$|a - b| \le 10 \le a + b$

Рассмотрим оба случая, проверяя, можно ли подобрать такое значение $b \ge 0$, чтобы неравенство выполнялось.

1)

Пусть модуль одного из составляющих векторов равен 1, то есть $a = 1$. Подставим это значение в неравенство треугольника:

$|1 - b| \le 10 \le 1 + b$

Рассмотрим каждую часть неравенства отдельно:
1) $10 \le 1 + b \implies b \ge 9$.
2) $|1 - b| \le 10 \implies -10 \le 1 - b \le 10$.
$1 - b \le 10 \implies -9 \le b$, что всегда верно, так как модуль $b$ не может быть отрицательным.
$1 - b \ge -10 \implies b \le 11$.

Объединяя условия, получаем, что модуль второго вектора $b$ должен находиться в диапазоне $9 \le b \le 11$. Поскольку существует бесконечное множество положительных чисел в этом диапазоне, можно найти такой вектор $\vec{b}$. Например, если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны и сонаправлены, то $|\vec{c}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$, откуда $10 = 1 + b$ и $b=9$. Это значение входит в найденный диапазон. Следовательно, такое разложение возможно.

Ответ: Да, можно.

2)

Пусть модуль одного из составляющих векторов равен 100, то есть $a = 100$. Подставим это значение в неравенство треугольника:

$|100 - b| \le 10 \le 100 + b$

Рассмотрим каждую часть неравенства отдельно:
1) $10 \le 100 + b \implies b \ge -90$, что всегда верно для модуля $b \ge 0$.
2) $|100 - b| \le 10 \implies -10 \le 100 - b \le 10$.
$100 - b \le 10 \implies b \ge 90$.
$100 - b \ge -10 \implies b \le 110$.

Таким образом, модуль второго вектора $b$ должен находиться в диапазоне $90 \le b \le 110$. Поскольку такой диапазон допустимых значений для $b$ существует, то и соответствующий вектор $\vec{b}$ можно найти. Например, если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны и направлены в противоположные стороны, то $|\vec{c}| = ||\vec{a}| - |\vec{b}||$, откуда $10 = |100 - b|$. Решениями этого уравнения являются $b=90$ и $b=110$. Оба значения входят в найденный диапазон. Следовательно, такое разложение также возможно.

Ответ: Да, можно.

1.41. Дан параллелограмм $ABCD$. Докажите, что для любой точки $X$ на плоскости верно равенство $\vec{XA} + \vec{XC} = \vec{XB} + \vec{XD}$.

Для доказательства данного равенства преобразуем его. Исходное равенство: $ \vec{XA} + \vec{XC} = \vec{XB} + \vec{XD} $

Перенесем векторы так, чтобы сгруппировать их для последующего вычитания. Вектор $ \vec{XB} $ перенесем в левую часть, а вектор $ \vec{XC} $ — в правую часть, изменив их знаки: $ \vec{XA} - \vec{XB} = \vec{XD} - \vec{XC} $

Теперь воспользуемся правилом вычитания векторов, которое гласит, что для любых трех точек P, Q, R разность векторов $ \vec{RP} - \vec{RQ} $ равна вектору $ \vec{QP} $. Применим это правило к обеим частям нашего равенства.

В левой части $ \vec{XA} - \vec{XB} $, точка X является общей начальной точкой. По правилу вычитания, эта разность равна вектору, идущему от конца второго вектора (B) к концу первого (A): $ \vec{XA} - \vec{XB} = \vec{BA} $

Аналогично, в правой части $ \vec{XD} - \vec{XC} $, точка X также является общей начальной точкой. Разность равна вектору, идущему от точки C к точке D: $ \vec{XD} - \vec{XC} = \vec{CD} $

Подставив полученные выражения обратно в преобразованное равенство, мы приходим к следующему соотношению: $ \vec{BA} = \vec{CD} $

Теперь нам нужно доказать, что равенство $ \vec{BA} = \vec{CD} $ является верным для любого параллелограмма ABCD. По определению, в параллелограмме ABCD противоположные стороны параллельны и равны по длине. Это означает, что векторы, направленные вдоль этих сторон, равны. В частности, для сторон AB и DC имеем: $ \vec{AB} = \vec{DC} $

Векторы $ \vec{BA} $ и $ \vec{AB} $ являются противоположными, поэтому $ \vec{BA} = -\vec{AB} $. Аналогично, векторы $ \vec{CD} $ и $ \vec{DC} $ являются противоположными, поэтому $ \vec{CD} = -\vec{DC} $.

Из равенства $ \vec{AB} = \vec{DC} $ следует, что $ -\vec{AB} = -\vec{DC} $. Заменяя $ -\vec{AB} $ на $ \vec{BA} $ и $ -\vec{DC} $ на $ \vec{CD} $, получаем: $ \vec{BA} = \vec{CD} $

Таким образом, мы доказали, что равенство $ \vec{BA} = \vec{CD} $ справедливо для любого параллелограмма ABCD. Поскольку все наши шаги преобразования исходного равенства были эквивалентными, это означает, что исходное равенство $ \vec{XA} + \vec{XC} = \vec{XB} + \vec{XD} $ также верно для любой точки X на плоскости.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

1.42. Корабль со скоростью $v_1$ по компасу направился на восток. В каком направлении поплывет корабль, если дует северный ветер со скоростью $v_2$ и вода течет на юго-восток со скоростью $v_3$?

Для определения направления движения корабля необходимо найти вектор результирующей скорости, который является суммой всех векторов скоростей, действующих на корабль. Это скорость корабля относительно воды, скорость течения воды и скорость, сообщаемая ветром.

Введем декартову систему координат, где ось Ox направлена на восток, а ось Oy – на север. Теперь представим каждую скорость в виде вектора с компонентами по осям Ox и Oy.

1. Скорость корабля относительно воды ($\vec{v}_1$). Корабль направлен на восток, поэтому вектор его скорости относительно воды имеет компоненты:
$\vec{v}_1 = (v_{1x}, v_{1y}) = (v_1, 0)$

2. Скорость, сообщаемая ветром ($\vec{v}_2$). Северный ветер дует с севера на юг, то есть в отрицательном направлении оси Oy. Будем считать, что ветер сообщает кораблю скорость $v_2$ в этом направлении. Вектор этой скорости:
$\vec{v}_2 = (v_{2x}, v_{2y}) = (0, -v_2)$

3. Скорость течения воды ($\vec{v}_3$). Вода течет на юго-восток. Это направление составляет угол $-45^\circ$ или $315^\circ$ с положительным направлением оси Ox (восток). Компоненты этого вектора скорости:
$v_{3x} = v_3 \cos(-45^\circ) = v_3 \frac{\sqrt{2}}{2}$
$v_{3y} = v_3 \sin(-45^\circ) = -v_3 \frac{\sqrt{2}}{2}$
Таким образом, $\vec{v}_3 = (v_3 \frac{\sqrt{2}}{2}, -v_3 \frac{\sqrt{2}}{2})$

Результирующая скорость корабля относительно земли ($\vec{v}_{рез}$) равна векторной сумме этих трех скоростей: $\vec{v}_{рез} = \vec{v}_1 + \vec{v}_2 + \vec{v}_3$.

Найдем компоненты результирующего вектора скорости, сложив соответствующие компоненты:
$v_{рез,x} = v_{1x} + v_{2x} + v_{3x} = v_1 + 0 + v_3 \frac{\sqrt{2}}{2} = v_1 + \frac{v_3}{\sqrt{2}}$
$v_{рез,y} = v_{1y} + v_{2y} + v_{3y} = 0 - v_2 - v_3 \frac{\sqrt{2}}{2} = -(v_2 + \frac{v_3}{\sqrt{2}})$

Поскольку скорости $v_1, v_2, v_3$ являются положительными величинами (модулями скоростей), компонента $v_{рез,x}$ всегда положительна (направление на восток), а компонента $v_{рез,y}$ всегда отрицательна (направление на юг). Это означает, что корабль будет плыть в юго-восточном направлении.

Чтобы найти точное направление, определим угол $\alpha$, который вектор результирующей скорости составляет с направлением на восток. Этот угол отсчитывается к югу от востока и находится из соотношения:

$\tan \alpha = \frac{|v_{рез,y}|}{v_{рез,x}} = \frac{v_2 + \frac{v_3}{\sqrt{2}}}{v_1 + \frac{v_3}{\sqrt{2}}}$

Умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$, получим более простое выражение:

$\tan \alpha = \frac{\sqrt{2}v_2 + v_3}{\sqrt{2}v_1 + v_3}$

Таким образом, направление движения корабля — к югу от востока под углом $\alpha = \arctan\left(\frac{\sqrt{2}v_2 + v_3}{\sqrt{2}v_1 + v_3}\right)$.

Визуализация сложения векторов скоростей:

Ответ: Корабль поплывет в юго-восточном направлении, под углом $\alpha = \arctan\left(\frac{\sqrt{2}v_2 + v_3}{\sqrt{2}v_1 + v_3}\right)$ к югу от востока.

1.43. Вне треугольника $ABC$ на его сторонах построены параллелограммы $AKLB$, $BMNC$, $CPQA$. Можно ли составить треугольник из отрезков:

1) $LM$, $NP$, $QK$;

2) $LP$, $MQ$, $NK$?

Стороны составленных треугольников должны быть параллельны соответствующим отрезкам.

Для решения задачи воспользуемся методами векторной алгебры. Обозначим положение вершин треугольника $A, B, C$ и вершин параллелограммов $K, L, M, N, P, Q$ радиус-векторами из некоторого начала координат $O$. Обозначим эти векторы как $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{k}, \vec{l}, \vec{m}, \vec{n}, \vec{p}, \vec{q}$ соответственно.

Три отрезка могут составить треугольник, если сумма векторов, соответствующих этим отрезкам (с учётом направления), равна нулевому вектору.

Условие "Вне треугольника ABC на его сторонах построены параллелограммы" означает, что сторона треугольника (например, $AB$) является также стороной соответствующего параллелограмма. Название параллелограмма, например $AKLB$, указывает на его вершины. Наиболее геометрически состоятельная интерпретация, удовлетворяющая условию "вне треугольника", заключается в том, что вершины параллелограмма, построенного на стороне $AB$, в циклическом порядке есть $A, B, L, K$. Это означает, что $\vec{AB}$ и $\vec{AK}$ — смежные стороны.

Из этого следует, что для параллелограммов выполняются следующие векторные равенства:

• Для параллелограмма на стороне $AB$ (с вершинами $A, B, L, K$): $\vec{AB} = \vec{KL}$. В векторной форме: $\vec{b} - \vec{a} = \vec{l} - \vec{k}$.
• Для параллелограмма на стороне $BC$ (с вершинами $B, C, N, M$): $\vec{BC} = \vec{MN}$. В векторной форме: $\vec{c} - \vec{b} = \vec{n} - \vec{m}$.
• Для параллелограмма на стороне $CA$ (с вершинами $C, A, Q, P$): $\vec{CA} = \vec{PQ}$. В векторной форме: $\vec{a} - \vec{c} = \vec{q} - \vec{p}$.

Перепишем эти равенства в удобной для нас форме:

(1) $\vec{a} - \vec{b} = \vec{k} - \vec{l}$

(2) $\vec{b} - \vec{c} = \vec{m} - \vec{n}$

(3) $\vec{c} - \vec{a} = \vec{p} - \vec{q}$

Ниже представлен рисунок, иллюстрирующий данную конструкцию.

1) Можно ли составить треугольник из отрезков $LM, NP, QK$?

Для этого необходимо проверить, равна ли нулю сумма векторов $\vec{LM} + \vec{NP} + \vec{QK}$.

$\vec{LM} = \vec{m} - \vec{l}$

$\vec{NP} = \vec{p} - \vec{n}$

$\vec{QK} = \vec{k} - \vec{q}$

Сумма векторов $S_1 = (\vec{m} - \vec{l}) + (\vec{p} - \vec{n}) + (\vec{k} - \vec{q})$.

Сгруппируем слагаемые: $S_1 = (\vec{k} + \vec{m} + \vec{p}) - (\vec{l} + \vec{n} + \vec{q})$.

Из уравнений (1), (2), (3) выразим векторы $\vec{k}, \vec{m}, \vec{p}$:

Из (1): $\vec{k} = \vec{l} + \vec{a} - \vec{b}$

Из (2): $\vec{m} = \vec{n} + \vec{b} - \vec{c}$

Из (3): $\vec{p} = \vec{q} + \vec{c} - \vec{a}$

Подставим эти выражения в первую скобку суммы $S_1$:

$S_1 = ((\vec{l} + \vec{a} - \vec{b}) + (\vec{n} + \vec{b} - \vec{c}) + (\vec{q} + \vec{c} - \vec{a})) - (\vec{l} + \vec{n} + \vec{q})$

Упростим выражение в первой скобке:

$\vec{l} + \vec{n} + \vec{q} + (\vec{a} - \vec{a}) + (-\vec{b} + \vec{b}) + (-\vec{c} + \vec{c}) = \vec{l} + \vec{n} + \vec{q}$

Тогда сумма $S_1$ равна:

$S_1 = (\vec{l} + \vec{n} + \vec{q}) - (\vec{l} + \vec{n} + \vec{q}) = \vec{0}$

Поскольку сумма векторов равна нулю, из отрезков $LM, NP, QK$ можно составить треугольник.

Ответ: Да, можно.

2) Можно ли составить треугольник из отрезков $LP, MQ, NK$?

Аналогично, проверим, равна ли нулю сумма векторов $\vec{LP} + \vec{MQ} + \vec{NK}$.

$\vec{LP} = \vec{p} - \vec{l}$

$\vec{MQ} = \vec{q} - \vec{m}$

$\vec{NK} = \vec{k} - \vec{n}$

Сумма векторов $S_2 = (\vec{p} - \vec{l}) + (\vec{q} - \vec{m}) + (\vec{k} - \vec{n})$.

Используем те же выражения для $\vec{k}, \vec{m}, \vec{p}$, что и в первом пункте, но подставим их в $S_2$ по-другому. Выразим $\vec{l}, \vec{m}, \vec{n}$ из уравнений (1), (2), (3):

Из (1): $\vec{l} = \vec{k} - \vec{a} + \vec{b}$

Из (2): $\vec{m} = \vec{n} - \vec{b} + \vec{c}$

Из (3): $\vec{q} = \vec{p} - \vec{c} + \vec{a}$

Подставим $\vec{l}$ и $\vec{m}$ в выражение для $S_2$:

$S_2 = (\vec{p} - (\vec{k} - \vec{a} + \vec{b})) + (\vec{q} - (\vec{n} - \vec{b} + \vec{c})) + (\vec{k} - \vec{n})$

$S_2 = \vec{p} - \vec{k} + \vec{a} - \vec{b} + \vec{q} - \vec{n} + \vec{b} - \vec{c} + \vec{k} - \vec{n}$

Сгруппируем подобные члены:

$S_2 = \vec{p} + \vec{q} + \vec{a} - \vec{c} - 2\vec{n} + (-\vec{k} + \vec{k}) + (-\vec{b} + \vec{b})$

$S_2 = \vec{p} + \vec{q} + \vec{a} - \vec{c} - 2\vec{n}$

Теперь подставим выражение для $\vec{q}$:

$S_2 = \vec{p} + (\vec{p} - \vec{c} + \vec{a}) + \vec{a} - \vec{c} - 2\vec{n}$

$S_2 = 2\vec{p} + 2\vec{a} - 2\vec{c} - 2\vec{n} = 2(\vec{p} + \vec{a} - \vec{c} - \vec{n})$

Эта сумма в общем случае не равна нулевому вектору. Например, если $A, B, C$ — вершины невырожденного треугольника, а все параллелограммы — квадраты, то $S_2 \neq \vec{0}$.

Следовательно, из отрезков $LP, MQ, NK$ в общем случае нельзя составить треугольник.

Ответ: Нет, в общем случае нельзя.

1.44. Угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$, $\vec{a}$ и $\vec{c}$ равен $120^{\circ}$, $\left|\vec{a}\right|=\left|\vec{b}\right|=\left|\vec{c}\right|$. Покажите, что выполняется равенство $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$.

Угол AOB называется углом между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$, если $\vec{a}=\vec{OA}$, $\vec{b}=\vec{OB}$.

Для доказательства равенства $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$ можно использовать два подхода: алгебраический и геометрический.

Алгебраический способ

Вектор равен нулевому вектору тогда и только тогда, когда его скалярный квадрат (квадрат его длины) равен нулю. Вычислим скалярный квадрат вектора-суммы $\vec{s} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$:

$|\vec{s}|^2 = |\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \cdot (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$

Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения:

$|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = \vec{a}\cdot\vec{a} + \vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{a}\cdot\vec{c} + \vec{b}\cdot\vec{a} + \vec{b}\cdot\vec{b} + \vec{b}\cdot\vec{c} + \vec{c}\cdot\vec{a} + \vec{c}\cdot\vec{b} + \vec{c}\cdot\vec{c}$

Сгруппируем слагаемые, учитывая, что $\vec{x}\cdot\vec{y} = \vec{y}\cdot\vec{x}$ и $\vec{x}\cdot\vec{x} = |\vec{x}|^2$:

$|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{a}\cdot\vec{c} + \vec{b}\cdot\vec{c})$

По условию задачи, модули векторов равны. Обозначим их длину через $k$: $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = k$.

Углы между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$, а также между $\vec{a}$ и $\vec{c}$ равны $120^\circ$. Симметрия задачи и тот факт, что доказываемое равенство должно выполняться, предполагают, что и угол между векторами $\vec{b}$ и $\vec{c}$ также равен $120^\circ$. При таком условии векторы оказываются компланарными (лежат в одной плоскости) и направлены из центра равностороннего треугольника к его вершинам. Покажем, что при этом условии сумма векторов действительно равна нулю.

Вычислим скалярные произведения, используя формулу $\vec{x}\cdot\vec{y} = |\vec{x}||\vec{y}|\cos(\angle(\vec{x},\vec{y}))$ и то, что $\cos(120^\circ) = -1/2$:

$\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos(120^\circ) = k \cdot k \cdot (-1/2) = -k^2/2$

$\vec{a}\cdot\vec{c} = |\vec{a}||\vec{c}|\cos(120^\circ) = k \cdot k \cdot (-1/2) = -k^2/2$

$\vec{b}\cdot\vec{c} = |\vec{b}||\vec{c}|\cos(120^\circ) = k \cdot k \cdot (-1/2) = -k^2/2$

Подставим полученные значения в выражение для скалярного квадрата:

$|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = k^2 + k^2 + k^2 + 2(-k^2/2 - k^2/2 - k^2/2) = 3k^2 + 2(-3k^2/2) = 3k^2 - 3k^2 = 0$

Поскольку скалярный квадрат суммы векторов равен нулю (и мы можем считать, что $k \ne 0$, иначе векторы нулевые и утверждение тривиально), то и сам вектор суммы равен нулевому вектору.

Геометрический способ

Отложим векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ от одной точки $O$. Тогда $\vec{a} = \vec{OA}$, $\vec{b} = \vec{OB}$, $\vec{c} = \vec{OC}$. По условию, длины этих векторов равны, то есть $|OA| = |OB| = |OC|$, а углы $\angle AOB = 120^\circ$ и $\angle AOC = 120^\circ$. Чтобы эти три вектора были различны, они должны лежать в одной плоскости, и угол $\angle BOC$ также будет равен $120^\circ$. Векторы направлены из центра $O$ под углами $120^\circ$ друг к другу.

Найдем сумму векторов $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$, используя правило параллелограмма. Сначала сложим векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Их сумма $\vec{d} = \vec{a} + \vec{b}$ является диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах. Так как $|\vec{a}| = |\vec{b}|$, этот параллелограмм является ромбом.

Векторная сумма $\vec{d} = \vec{a} + \vec{c}$ (на рисунке для наглядности сложены $\vec{a}$ и $\vec{c}$) является диагональю ромба $OADC$. Эта диагональ $OD$ является биссектрисой угла $\angle AOC$. Следовательно, угол между вектором $\vec{a}$ и вектором $\vec{d}=\vec{a}+\vec{c}$ равен $120^\circ / 2 = 60^\circ$. Длина вектора $\vec{d}$ может быть найдена по теореме косинусов для треугольника $OAD$ (где $AD$ параллелен и равен $OC$):

$|\vec{d}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2\vec{a}\cdot\vec{c} = k^2 + k^2 + 2k^2\cos(120^\circ) = 2k^2 + 2k^2(-1/2) = k^2$

Отсюда $|\vec{d}| = k$. То есть, $|\vec{a}+\vec{c}| = |\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}|$.

Теперь нужно сложить полученный вектор $\vec{d} = \vec{a}+\vec{c}$ с вектором $\vec{b}$. Найдем угол между $\vec{d}$ и $\vec{b}$. Вектор $\vec{d}$ образует угол $60^\circ$ с вектором $\vec{a}$. Вектор $\vec{b}$ образует угол $120^\circ$ с вектором $\vec{a}$. Так как $\vec{c}$ и $\vec{b}$ находятся по разные стороны от прямой, содержащей вектор $\vec{a}$, то угол между $\vec{d}$ и $\vec{b}$ равен сумме углов, которые они образуют с $\vec{a}$: $60^\circ + 120^\circ = 180^\circ$.

Таким образом, векторы $\vec{d}$ и $\vec{b}$ имеют одинаковую длину $k$ и направлены в противоположные стороны (угол между ними $180^\circ$). Их сумма равна нулевому вектору:

$\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = (\vec{a} + \vec{c}) + \vec{b} = \vec{d} + \vec{b} = \vec{0}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$ выполняется, так как данные условия приводят к тому, что векторы компланарны и расположены симметрично под углом $120^\circ$ друг к другу. Сумма таких трех векторов равна нулевому вектору, что было показано как алгебраически, так и геометрически.

1.45. Векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ отложены от точки $O$ так, что $\vec{OA}=\vec{a}$, $\vec{OB}=\vec{b}$ и $\vec{OC}=\vec{c}$, причем $\angle AOB=90^\circ$, $\angle AOC=135^\circ$, $\angle BOC=135^\circ$, $|\vec{a}|=|\vec{b}|=1$ и $|\vec{c}|=\sqrt{2}$. Докажите, что выполняется равенство $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$.

Для доказательства равенства $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$ достаточно показать, что квадрат модуля (длины) вектора-суммы равен нулю. Вектор равен нулевому вектору тогда и только тогда, когда его модуль равен нулю.

Найдем квадрат модуля вектора $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$, который равен скалярному квадрату этого вектора:

$|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \cdot (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$

Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения (дистрибутивность и коммутативность):

$|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b} + \vec{c} \cdot \vec{c} + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 2(\vec{a} \cdot \vec{c}) + 2(\vec{b} \cdot \vec{c})$

Используя определение скалярного произведения $\vec{x} \cdot \vec{y} = |\vec{x}||\vec{y}|\cos(\alpha)$, где $\alpha$ — угол между векторами, и свойство $\vec{x} \cdot \vec{x} = |\vec{x}|^2$, вычислим каждый член выражения, используя данные из условия задачи:

Модули векторов:

$|\vec{a}| = 1 \Rightarrow |\vec{a}|^2 = 1$

$|\vec{b}| = 1 \Rightarrow |\vec{b}|^2 = 1$

$|\vec{c}| = \sqrt{2} \Rightarrow |\vec{c}|^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$

Скалярные произведения:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos(\angle AOB) = 1 \cdot 1 \cdot \cos(90^\circ) = 1 \cdot 1 \cdot 0 = 0$

$\vec{a} \cdot \vec{c} = |\vec{a}||\vec{c}|\cos(\angle AOC) = 1 \cdot \sqrt{2} \cdot \cos(135^\circ) = \sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -1$

$\vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{b}||\vec{c}|\cos(\angle BOC) = 1 \cdot \sqrt{2} \cdot \cos(135^\circ) = \sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -1$

Теперь подставим все вычисленные значения в формулу для квадрата модуля суммы:

$|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = 1 + 1 + 2 + 2(0) + 2(-1) + 2(-1) = 4 + 0 - 2 - 2 = 0$

Поскольку квадрат модуля вектора $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ равен нулю, то и сам модуль равен нулю: $|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| = 0$. Это означает, что вектор $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ является нулевым вектором.

Следовательно, равенство $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$ выполняется, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$ доказано.

1.46. Середины сторон выпуклого четырехугольника ABCD по порядку обозначены буквами P, Q, R и K соответственно. Докажите, что для любой точки O этой плоскости выполняется равенство $\vec{OP} + \vec{OR} = \vec{OQ} + \vec{OK}$.

Пусть дан выпуклый четырехугольник $ABCD$ и произвольная точка $O$ на плоскости. Точки $P, Q, R$ и $K$ являются серединами сторон $AB, BC, CD$ и $DA$ соответственно.

Для доказательства воспользуемся векторным методом. Радиус-вектор середины любого отрезка равен полусумме радиус-векторов его концов. Применительно к нашей задаче, для произвольной точки $O$ (которую можно считать началом координат) и середин сторон четырехугольника $ABCD$ имеем следующие равенства:

Поскольку $P$ — середина $AB$, то $\vec{OP} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB}}{2}$.

Поскольку $Q$ — середина $BC$, то $\vec{OQ} = \frac{\vec{OB} + \vec{OC}}{2}$.

Поскольку $R$ — середина $CD$, то $\vec{OR} = \frac{\vec{OC} + \vec{OD}}{2}$.

Поскольку $K$ — середина $DA$, то $\vec{OK} = \frac{\vec{OD} + \vec{OA}}{2}$.

Теперь рассмотрим левую и правую части доказываемого равенства $\vec{OP} + \vec{OR} = \vec{OQ} + \vec{OK}$.

Левая часть:
$\vec{OP} + \vec{OR} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB}}{2} + \frac{\vec{OC} + \vec{OD}}{2} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD})$.

Правая часть:
$\vec{OQ} + \vec{OK} = \frac{\vec{OB} + \vec{OC}}{2} + \frac{\vec{OD} + \vec{OA}}{2} = \frac{1}{2}(\vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD} + \vec{OA})$.

Сравнивая полученные выражения, мы видим, что левая и правая части равны, так как от перестановки слагаемых сумма векторов не меняется.

$\frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD}) = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD})$.

Таким образом, равенство $\vec{OP} + \vec{OR} = \vec{OQ} + \vec{OK}$ справедливо для любой точки $O$ плоскости. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.