Номер 1.46, страница 29 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.46. Середины сторон выпуклого четырехугольника ABCD по порядку обозначены буквами P, Q, R и K соответственно. Докажите, что для любой точки O этой плоскости выполняется равенство $\vec{OP} + \vec{OR} = \vec{OQ} + \vec{OK}$.

Пусть дан выпуклый четырехугольник $ABCD$ и произвольная точка $O$ на плоскости. Точки $P, Q, R$ и $K$ являются серединами сторон $AB, BC, CD$ и $DA$ соответственно.

Для доказательства воспользуемся векторным методом. Радиус-вектор середины любого отрезка равен полусумме радиус-векторов его концов. Применительно к нашей задаче, для произвольной точки $O$ (которую можно считать началом координат) и середин сторон четырехугольника $ABCD$ имеем следующие равенства:

Поскольку $P$ — середина $AB$, то $\vec{OP} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB}}{2}$.

Поскольку $Q$ — середина $BC$, то $\vec{OQ} = \frac{\vec{OB} + \vec{OC}}{2}$.

Поскольку $R$ — середина $CD$, то $\vec{OR} = \frac{\vec{OC} + \vec{OD}}{2}$.

Поскольку $K$ — середина $DA$, то $\vec{OK} = \frac{\vec{OD} + \vec{OA}}{2}$.

Теперь рассмотрим левую и правую части доказываемого равенства $\vec{OP} + \vec{OR} = \vec{OQ} + \vec{OK}$.

Левая часть:
$\vec{OP} + \vec{OR} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB}}{2} + \frac{\vec{OC} + \vec{OD}}{2} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD})$.

Правая часть:
$\vec{OQ} + \vec{OK} = \frac{\vec{OB} + \vec{OC}}{2} + \frac{\vec{OD} + \vec{OA}}{2} = \frac{1}{2}(\vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD} + \vec{OA})$.

Сравнивая полученные выражения, мы видим, что левая и правая части равны, так как от перестановки слагаемых сумма векторов не меняется.

$\frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD}) = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD})$.

Таким образом, равенство $\vec{OP} + \vec{OR} = \vec{OQ} + \vec{OK}$ справедливо для любой точки $O$ плоскости. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.