Номер 1.51, страница 33 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.51. Пусть $\vec{x}=\vec{m}+\vec{n}$, $\vec{y}=\vec{m}-\vec{n}$. Выразите векторы:

1) $2\vec{x}-2\vec{y}$;

2) $2\vec{x}+\frac{\vec{y}}{2}$;

3) $-\vec{x}-\frac{\vec{y}}{3}$

через векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$.

Дано: $\vec{x} = \vec{m} + \vec{n}$, $\vec{y} = \vec{m} - \vec{n}$.

Необходимо выразить заданные векторные выражения через векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$.

1) $2\vec{x}-2\vec{y}$

Подставим выражения для векторов $\vec{x}$ и $\vec{y}$:

$2\vec{x} - 2\vec{y} = 2(\vec{m} + \vec{n}) - 2(\vec{m} - \vec{n})$

Раскроем скобки, умножая каждый вектор в скобках на скалярный множитель:

$2\vec{m} + 2\vec{n} - (2\vec{m} - 2\vec{n})$

Еще раз раскроем скобки, меняя знаки:

$2\vec{m} + 2\vec{n} - 2\vec{m} + 2\vec{n}$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(2\vec{m} - 2\vec{m}) + (2\vec{n} + 2\vec{n}) = 0\vec{m} + 4\vec{n} = 4\vec{n}$

Ответ: $4\vec{n}$

2) $2\vec{x}+\frac{\vec{y}}{2}$

Подставим выражения для векторов $\vec{x}$ и $\vec{y}$:

$2\vec{x} + \frac{\vec{y}}{2} = 2(\vec{m} + \vec{n}) + \frac{1}{2}(\vec{m} - \vec{n})$

Раскроем скобки:

$2\vec{m} + 2\vec{n} + \frac{1}{2}\vec{m} - \frac{1}{2}\vec{n}$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые для $\vec{m}$ и $\vec{n}$:

$(2\vec{m} + \frac{1}{2}\vec{m}) + (2\vec{n} - \frac{1}{2}\vec{n})$

Выполним сложение и вычитание коэффициентов:

$(\frac{4}{2} + \frac{1}{2})\vec{m} + (\frac{4}{2} - \frac{1}{2})\vec{n} = \frac{5}{2}\vec{m} + \frac{3}{2}\vec{n}$

Ответ: $\frac{5}{2}\vec{m} + \frac{3}{2}\vec{n}$

3) $-\vec{x}-\frac{\vec{y}}{3}$

Подставим выражения для векторов $\vec{x}$ и $\vec{y}$:

$-\vec{x} - \frac{\vec{y}}{3} = -(\vec{m} + \vec{n}) - \frac{1}{3}(\vec{m} - \vec{n})$

Раскроем скобки:

$-\vec{m} - \vec{n} - \frac{1}{3}\vec{m} + \frac{1}{3}\vec{n}$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(-\vec{m} - \frac{1}{3}\vec{m}) + (-\vec{n} + \frac{1}{3}\vec{n})$

Выполним сложение и вычитание коэффициентов:

$(-\frac{3}{3} - \frac{1}{3})\vec{m} + (-\frac{3}{3} + \frac{1}{3})\vec{n} = -\frac{4}{3}\vec{m} - \frac{2}{3}\vec{n}$

Ответ: $-\frac{4}{3}\vec{m} - \frac{2}{3}\vec{n}$