Номер 1.49, страница 33 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.49. При каком условии точка C лежит на прямой AB?

Для того чтобы точка $C$ лежала на прямой $AB$, необходимо и достаточно, чтобы все три точки $A$, $B$ и $C$ были коллинеарны, то есть лежали на одной прямой. Это фундаментальное условие в геометрии, и его можно выразить несколькими эквивалентными способами.

Векторное условие

Три точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда векторы, составленные из этих точек, коллинеарны. Например, векторы $\vec{AC}$ и $\vec{AB}$ должны быть коллинеарны. Коллинеарность двух векторов означает, что один вектор можно получить из другого умножением на некоторое число $k$ (скаляр):
$\vec{AC} = k \cdot \vec{AB}$
Здесь $k$ — это действительное число. В зависимости от значения $k$ точка $C$ будет занимать различное положение на прямой $AB$:
• Если $k=0$, то точка $C$ совпадает с точкой $A$.
• Если $k=1$, то точка $C$ совпадает с точкой $B$.
• Если $0 < k < 1$, то точка $C$ лежит между точками $A$ и $B$.
• Если $k > 1$, то точка $B$ лежит между точками $A$ и $C$.
• Если $k < 0$, то точка $A$ лежит между точками $C$ и $B$.
Если точки заданы своими координатами $A(x_A, y_A)$, $B(x_B, y_B)$ и $C(x_C, y_C)$, то условие коллинеарности векторов $\vec{AC} = (x_C - x_A, y_C - y_A)$ и $\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A)$ записывается как пропорциональность их координат: $\frac{x_C - x_A}{x_B - x_A} = \frac{y_C - y_A}{y_B - y_A}$ (при условии, что знаменатели не равны нулю).

Условие, основанное на расстояниях

Данное условие следует из аксиомы измерения отрезков и неравенства треугольника. Точка $C$ лежит на прямой $AB$ тогда и только тогда, когда выполняется одно из трех равенств, связывающих длины отрезков $AB$, $AC$ и $BC$. Это означает, что длина самого большого из трех отрезков равна сумме длин двух других.
Рассмотрим три возможных случая расположения точек:

Случай 1: Точка C лежит на отрезке AB.

В этом случае длина отрезка $AB$ равна сумме длин отрезков $AC$ и $CB$. Математически: $AC + CB = AB$.

Случай 2: Точка A лежит на отрезке CB.

В этом случае длина отрезка $CB$ равна сумме длин отрезков $CA$ и $AB$. Математически: $CA + AB = CB$.

Случай 3: Точка B лежит на отрезке AC.

В этом случае длина отрезка $AC$ равна сумме длин отрезков $AB$ и $BC$. Математически: $AB + BC = AC$.

Таким образом, все три случая объединяются в одно общее условие: сумма длин двух из трех отрезков, образованных точками $A$, $B$ и $C$, должна быть равна длине третьего отрезка.

Ответ: Точка $C$ лежит на прямой $AB$ при выполнении одного из следующих эквивалентных условий:
1. Векторы $\vec{AC}$ и $\vec{AB}$ коллинеарны, то есть существует такое действительное число $k$, что выполняется равенство $\vec{AC} = k \cdot \vec{AB}$.
2. Сумма длин двух из трех отрезков $AC$, $BC$ и $AB$ равна длине третьего отрезка. То есть выполняется одно из равенств: $AC + CB = AB$, или $CA + AB = CB$, или $AB + BC = AC$.