Номер 1.53, страница 33 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.53. Диагонали квадрата ABCD пересекаются в точке O, а точки E и K — середины сторон AB и AD соответственно. Выразите векторы:

1) $ \vec{BC} $;

2) $ \vec{AC} $;

3) $ \vec{OD} $;

4) $ \vec{KE} $;

5) $ \vec{ED} $;

6) $ \vec{KC} $

через векторы $ \vec{AE} $ и $ \vec{AK} $.

По условию задачи, $ABCD$ – это квадрат, диагонали которого пересекаются в точке $O$. Точки $E$ и $K$ – середины сторон $AB$ и $AD$ соответственно. Нам нужно выразить несколько векторов через базисные векторы $\vec{AE}$ и $\vec{AK}$.

Из того, что $E$ – середина $AB$ и $K$ – середина $AD$, следуют соотношения:
$\vec{AB} = 2\vec{AE}$
$\vec{AD} = 2\vec{AK}$

1) $\vec{BC}$
В квадрате $ABCD$ противоположные стороны $AD$ и $BC$ параллельны, равны по длине и одинаково направлены. Следовательно, векторы, лежащие на этих сторонах, равны: $\vec{BC} = \vec{AD}$.
Поскольку $K$ – середина $AD$, то $\vec{AD} = 2\vec{AK}$.
Таким образом, $\vec{BC} = 2\vec{AK}$.
Ответ: $\vec{BC} = 2\vec{AK}$.

2) $\vec{AC}$
По правилу параллелограмма для сложения векторов, исходящих из одной точки, диагональ $\vec{AC}$ является суммой векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$. Но так как $\vec{AD} = \vec{BC}$, можно использовать и правило треугольника:
$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$.
Подставляем известные нам выражения: $\vec{AB} = 2\vec{AE}$ и $\vec{BC} = 2\vec{AK}$.
$\vec{AC} = 2\vec{AE} + 2\vec{AK}$.
Ответ: $\vec{AC} = 2\vec{AE} + 2\vec{AK}$.

3) $\vec{OD}$
В квадрате диагонали в точке пересечения $O$ делятся пополам. Значит, $O$ – середина диагонали $BD$. Отсюда следует, что $\vec{OD} = \frac{1}{2}\vec{BD}$.
Вектор $\vec{BD}$ можно выразить через разность векторов $\vec{AD}$ и $\vec{AB}$ по правилу треугольника:
$\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB}$.
Подставляем выражения для $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$:
$\vec{BD} = 2\vec{AK} - 2\vec{AE}$.
Теперь находим $\vec{OD}$:
$\vec{OD} = \frac{1}{2}(2\vec{AK} - 2\vec{AE}) = \vec{AK} - \vec{AE}$.
Ответ: $\vec{OD} = \vec{AK} - \vec{AE}$.

4) $\vec{KE}$
Вектор $\vec{KE}$ можно найти как разность векторов, проведенных из начала координат (в нашем случае из точки $A$) в концы данного вектора:
$\vec{KE} = \vec{AE} - \vec{AK}$.
Ответ: $\vec{KE} = \vec{AE} - \vec{AK}$.

5) $\vec{ED}$
Аналогично предыдущему пункту, выразим вектор $\vec{ED}$ через разность векторов с общим началом в точке $A$:
$\vec{ED} = \vec{AD} - \vec{AE}$.
Подставляем известное соотношение $\vec{AD} = 2\vec{AK}$:
$\vec{ED} = 2\vec{AK} - \vec{AE}$.
Ответ: $\vec{ED} = 2\vec{AK} - \vec{AE}$.

6) $\vec{KC}$
Выразим вектор $\vec{KC}$ через разность векторов с общим началом в точке $A$:
$\vec{KC} = \vec{AC} - \vec{AK}$.
Из пункта 2 мы уже знаем, что $\vec{AC} = 2\vec{AE} + 2\vec{AK}$. Подставим это выражение:
$\vec{KC} = (2\vec{AE} + 2\vec{AK}) - \vec{AK} = 2\vec{AE} + \vec{AK}$.
Ответ: $\vec{KC} = 2\vec{AE} + \vec{AK}$.