Номер 1.47, страница 30 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.47. Найдите $|\vec{CB} - \vec{CA} + \vec{CD}|$, если в трапеции ABCD $\angle A = 90^\circ$, $\angle ACB = 45^\circ$ и $\angle ACD = 90^\circ$. Здесь $AB=a$.

Сначала упростим векторное выражение под знаком модуля. Используя правило вычитания векторов ($\overrightarrow{XY} - \overrightarrow{XZ} = \overrightarrow{ZY}$), можно переписать разность $\overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CA}$ как $\overrightarrow{AB}$. Однако более удобной для данной задачи является другая группировка. Запишем выражение как $|\overrightarrow{CD} - \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB}|$. Разность векторов $\overrightarrow{CD} - \overrightarrow{CA}$ по тому же правилу равна вектору $\overrightarrow{AD}$. Таким образом, искомое выражение принимает вид $|\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB}|$.

Теперь проанализируем геометрические свойства трапеции ABCD, используя данные условия.Поскольку ABCD — трапеция с $\angle A = 90^\circ$, можно предположить, что основаниями являются AD и BC (то есть, AD || BC). В этом случае сторона AB перпендикулярна основанию AD. Так как AD || BC, то AB перпендикулярна и BC, а значит, $\angle B = 90^\circ$. Таким образом, ABCD — прямоугольная трапеция с высотой AB.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABC$. В нем $\angle B = 90^\circ$, а по условию $\angle ACB = 45^\circ$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, следовательно, $\angle BAC = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Так как углы при основании AC равны, $\triangle ABC$ является равнобедренным. Отсюда следует, что катеты равны: $BC = AB$. По условию $AB=a$, значит, и $BC = a$. Гипотенузу $AC$ найдем по теореме Пифагора: $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Далее рассмотрим треугольник $\triangle ACD$. По условию $\angle ACD = 90^\circ$, так что это прямоугольный треугольник. Угол трапеции при вершине A, $\angle DAB$, равен $90^\circ$. Этот угол складывается из двух углов: $\angle DAB = \angle DAC + \angle CAB$. Мы нашли, что $\angle CAB = 45^\circ$, поэтому можем найти $\angle DAC$: $90^\circ = \angle DAC + 45^\circ$, откуда $\angle DAC = 45^\circ$.

Теперь в прямоугольном треугольнике $\triangle ACD$ нам известны два угла: $\angle ACD = 90^\circ$ и $\angle DAC = 45^\circ$. Третий угол $\angle ADC$ равен $180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Поскольку в $\triangle ACD$ два угла равны ($\angle DAC = \angle ADC = 45^\circ$), он также является равнобедренным, и стороны, противолежащие этим углам, равны: $CD = AC$. Так как мы уже нашли $AC = a\sqrt{2}$, то и $CD = a\sqrt{2}$. Гипотенуза AD, лежащая против прямого угла, равна $AD = \sqrt{AC^2 + CD^2} = \sqrt{(a\sqrt{2})^2 + (a\sqrt{2})^2} = \sqrt{2a^2 + 2a^2} = \sqrt{4a^2} = 2a$.

Итак, мы определили размеры всех сторон трапеции: основания $BC=a$ и $AD=2a$, высота $AB=a$ и боковая сторона $CD=a\sqrt{2}$. Ниже представлен чертеж этой трапеции.

Теперь вернемся к вычислению модуля вектора $|\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB}|$. Вектор $\overrightarrow{AD}$ соответствует большему основанию трапеции, его направление совпадает с направлением от точки A к точке D, а его модуль (длина) равен $|\overrightarrow{AD}| = AD = 2a$. Вектор $\overrightarrow{CB}$ направлен от C к B, то есть параллельно вектору $\overrightarrow{AD}$, но в противоположную сторону (антипараллелен). Его модуль равен $|\overrightarrow{CB}| = BC = a$.

Поскольку векторы $\overrightarrow{AD}$ и $\overrightarrow{CB}$ коллинеарны и противонаправлены, модуль их суммы равен разности их модулей:$|\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB}| = ||\overrightarrow{AD}| - |\overrightarrow{CB}|| = |2a - a| = a$.

Ответ: $a$.