Номер 1.43, страница 29 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.43. Вне треугольника $ABC$ на его сторонах построены параллелограммы $AKLB$, $BMNC$, $CPQA$. Можно ли составить треугольник из отрезков:

1) $LM$, $NP$, $QK$;

2) $LP$, $MQ$, $NK$?

Стороны составленных треугольников должны быть параллельны соответствующим отрезкам.

Для решения задачи воспользуемся методами векторной алгебры. Обозначим положение вершин треугольника $A, B, C$ и вершин параллелограммов $K, L, M, N, P, Q$ радиус-векторами из некоторого начала координат $O$. Обозначим эти векторы как $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{k}, \vec{l}, \vec{m}, \vec{n}, \vec{p}, \vec{q}$ соответственно.

Три отрезка могут составить треугольник, если сумма векторов, соответствующих этим отрезкам (с учётом направления), равна нулевому вектору.

Условие "Вне треугольника ABC на его сторонах построены параллелограммы" означает, что сторона треугольника (например, $AB$) является также стороной соответствующего параллелограмма. Название параллелограмма, например $AKLB$, указывает на его вершины. Наиболее геометрически состоятельная интерпретация, удовлетворяющая условию "вне треугольника", заключается в том, что вершины параллелограмма, построенного на стороне $AB$, в циклическом порядке есть $A, B, L, K$. Это означает, что $\vec{AB}$ и $\vec{AK}$ — смежные стороны.

Из этого следует, что для параллелограммов выполняются следующие векторные равенства:

• Для параллелограмма на стороне $AB$ (с вершинами $A, B, L, K$): $\vec{AB} = \vec{KL}$. В векторной форме: $\vec{b} - \vec{a} = \vec{l} - \vec{k}$.
• Для параллелограмма на стороне $BC$ (с вершинами $B, C, N, M$): $\vec{BC} = \vec{MN}$. В векторной форме: $\vec{c} - \vec{b} = \vec{n} - \vec{m}$.
• Для параллелограмма на стороне $CA$ (с вершинами $C, A, Q, P$): $\vec{CA} = \vec{PQ}$. В векторной форме: $\vec{a} - \vec{c} = \vec{q} - \vec{p}$.

Перепишем эти равенства в удобной для нас форме:

(1) $\vec{a} - \vec{b} = \vec{k} - \vec{l}$

(2) $\vec{b} - \vec{c} = \vec{m} - \vec{n}$

(3) $\vec{c} - \vec{a} = \vec{p} - \vec{q}$

Ниже представлен рисунок, иллюстрирующий данную конструкцию.

1) Можно ли составить треугольник из отрезков $LM, NP, QK$?

Для этого необходимо проверить, равна ли нулю сумма векторов $\vec{LM} + \vec{NP} + \vec{QK}$.

$\vec{LM} = \vec{m} - \vec{l}$

$\vec{NP} = \vec{p} - \vec{n}$

$\vec{QK} = \vec{k} - \vec{q}$

Сумма векторов $S_1 = (\vec{m} - \vec{l}) + (\vec{p} - \vec{n}) + (\vec{k} - \vec{q})$.

Сгруппируем слагаемые: $S_1 = (\vec{k} + \vec{m} + \vec{p}) - (\vec{l} + \vec{n} + \vec{q})$.

Из уравнений (1), (2), (3) выразим векторы $\vec{k}, \vec{m}, \vec{p}$:

Из (1): $\vec{k} = \vec{l} + \vec{a} - \vec{b}$

Из (2): $\vec{m} = \vec{n} + \vec{b} - \vec{c}$

Из (3): $\vec{p} = \vec{q} + \vec{c} - \vec{a}$

Подставим эти выражения в первую скобку суммы $S_1$:

$S_1 = ((\vec{l} + \vec{a} - \vec{b}) + (\vec{n} + \vec{b} - \vec{c}) + (\vec{q} + \vec{c} - \vec{a})) - (\vec{l} + \vec{n} + \vec{q})$

Упростим выражение в первой скобке:

$\vec{l} + \vec{n} + \vec{q} + (\vec{a} - \vec{a}) + (-\vec{b} + \vec{b}) + (-\vec{c} + \vec{c}) = \vec{l} + \vec{n} + \vec{q}$

Тогда сумма $S_1$ равна:

$S_1 = (\vec{l} + \vec{n} + \vec{q}) - (\vec{l} + \vec{n} + \vec{q}) = \vec{0}$

Поскольку сумма векторов равна нулю, из отрезков $LM, NP, QK$ можно составить треугольник.

Ответ: Да, можно.

2) Можно ли составить треугольник из отрезков $LP, MQ, NK$?

Аналогично, проверим, равна ли нулю сумма векторов $\vec{LP} + \vec{MQ} + \vec{NK}$.

$\vec{LP} = \vec{p} - \vec{l}$

$\vec{MQ} = \vec{q} - \vec{m}$

$\vec{NK} = \vec{k} - \vec{n}$

Сумма векторов $S_2 = (\vec{p} - \vec{l}) + (\vec{q} - \vec{m}) + (\vec{k} - \vec{n})$.

Используем те же выражения для $\vec{k}, \vec{m}, \vec{p}$, что и в первом пункте, но подставим их в $S_2$ по-другому. Выразим $\vec{l}, \vec{m}, \vec{n}$ из уравнений (1), (2), (3):

Из (1): $\vec{l} = \vec{k} - \vec{a} + \vec{b}$

Из (2): $\vec{m} = \vec{n} - \vec{b} + \vec{c}$

Из (3): $\vec{q} = \vec{p} - \vec{c} + \vec{a}$

Подставим $\vec{l}$ и $\vec{m}$ в выражение для $S_2$:

$S_2 = (\vec{p} - (\vec{k} - \vec{a} + \vec{b})) + (\vec{q} - (\vec{n} - \vec{b} + \vec{c})) + (\vec{k} - \vec{n})$

$S_2 = \vec{p} - \vec{k} + \vec{a} - \vec{b} + \vec{q} - \vec{n} + \vec{b} - \vec{c} + \vec{k} - \vec{n}$

Сгруппируем подобные члены:

$S_2 = \vec{p} + \vec{q} + \vec{a} - \vec{c} - 2\vec{n} + (-\vec{k} + \vec{k}) + (-\vec{b} + \vec{b})$

$S_2 = \vec{p} + \vec{q} + \vec{a} - \vec{c} - 2\vec{n}$

Теперь подставим выражение для $\vec{q}$:

$S_2 = \vec{p} + (\vec{p} - \vec{c} + \vec{a}) + \vec{a} - \vec{c} - 2\vec{n}$

$S_2 = 2\vec{p} + 2\vec{a} - 2\vec{c} - 2\vec{n} = 2(\vec{p} + \vec{a} - \vec{c} - \vec{n})$

Эта сумма в общем случае не равна нулевому вектору. Например, если $A, B, C$ — вершины невырожденного треугольника, а все параллелограммы — квадраты, то $S_2 \neq \vec{0}$.

Следовательно, из отрезков $LP, MQ, NK$ в общем случае нельзя составить треугольник.

Ответ: Нет, в общем случае нельзя.