Номер 1.42, страница 29 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.42. Корабль со скоростью $v_1$ по компасу направился на восток. В каком направлении поплывет корабль, если дует северный ветер со скоростью $v_2$ и вода течет на юго-восток со скоростью $v_3$?

Для определения направления движения корабля необходимо найти вектор результирующей скорости, который является суммой всех векторов скоростей, действующих на корабль. Это скорость корабля относительно воды, скорость течения воды и скорость, сообщаемая ветром.

Введем декартову систему координат, где ось Ox направлена на восток, а ось Oy – на север. Теперь представим каждую скорость в виде вектора с компонентами по осям Ox и Oy.

1. Скорость корабля относительно воды ($\vec{v}_1$). Корабль направлен на восток, поэтому вектор его скорости относительно воды имеет компоненты:
$\vec{v}_1 = (v_{1x}, v_{1y}) = (v_1, 0)$

2. Скорость, сообщаемая ветром ($\vec{v}_2$). Северный ветер дует с севера на юг, то есть в отрицательном направлении оси Oy. Будем считать, что ветер сообщает кораблю скорость $v_2$ в этом направлении. Вектор этой скорости:
$\vec{v}_2 = (v_{2x}, v_{2y}) = (0, -v_2)$

3. Скорость течения воды ($\vec{v}_3$). Вода течет на юго-восток. Это направление составляет угол $-45^\circ$ или $315^\circ$ с положительным направлением оси Ox (восток). Компоненты этого вектора скорости:
$v_{3x} = v_3 \cos(-45^\circ) = v_3 \frac{\sqrt{2}}{2}$
$v_{3y} = v_3 \sin(-45^\circ) = -v_3 \frac{\sqrt{2}}{2}$
Таким образом, $\vec{v}_3 = (v_3 \frac{\sqrt{2}}{2}, -v_3 \frac{\sqrt{2}}{2})$

Результирующая скорость корабля относительно земли ($\vec{v}_{рез}$) равна векторной сумме этих трех скоростей: $\vec{v}_{рез} = \vec{v}_1 + \vec{v}_2 + \vec{v}_3$.

Найдем компоненты результирующего вектора скорости, сложив соответствующие компоненты:
$v_{рез,x} = v_{1x} + v_{2x} + v_{3x} = v_1 + 0 + v_3 \frac{\sqrt{2}}{2} = v_1 + \frac{v_3}{\sqrt{2}}$
$v_{рез,y} = v_{1y} + v_{2y} + v_{3y} = 0 - v_2 - v_3 \frac{\sqrt{2}}{2} = -(v_2 + \frac{v_3}{\sqrt{2}})$

Поскольку скорости $v_1, v_2, v_3$ являются положительными величинами (модулями скоростей), компонента $v_{рез,x}$ всегда положительна (направление на восток), а компонента $v_{рез,y}$ всегда отрицательна (направление на юг). Это означает, что корабль будет плыть в юго-восточном направлении.

Чтобы найти точное направление, определим угол $\alpha$, который вектор результирующей скорости составляет с направлением на восток. Этот угол отсчитывается к югу от востока и находится из соотношения:

$\tan \alpha = \frac{|v_{рез,y}|}{v_{рез,x}} = \frac{v_2 + \frac{v_3}{\sqrt{2}}}{v_1 + \frac{v_3}{\sqrt{2}}}$

Умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$, получим более простое выражение:

$\tan \alpha = \frac{\sqrt{2}v_2 + v_3}{\sqrt{2}v_1 + v_3}$

Таким образом, направление движения корабля — к югу от востока под углом $\alpha = \arctan\left(\frac{\sqrt{2}v_2 + v_3}{\sqrt{2}v_1 + v_3}\right)$.

Визуализация сложения векторов скоростей:

Ответ: Корабль поплывет в юго-восточном направлении, под углом $\alpha = \arctan\left(\frac{\sqrt{2}v_2 + v_3}{\sqrt{2}v_1 + v_3}\right)$ к югу от востока.