Номер 1.38, страница 28 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.38. Дан параллелограмм $ABCD$. Точки $P$ и $O$ являются серединами сторон $BC$ и $CD$ соответственно.

1) Постройте составляющие векторов $\vec{AP}, \vec{AO}, \vec{DP}, \vec{BO}, \vec{PO}$ по прямым $AB$ и $AD$.

2) Постройте составляющие векторов $\vec{AB}, \vec{DB}, \vec{AC}$ по прямым $AP$ и $AO$.

Для решения задачи введем базисные векторы, связанные со сторонами параллелограмма: пусть $\vec{a} = \vec{AB}$ и $\vec{b} = \vec{AD}$.

Так как ABCD — параллелограмм, то $\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{b}$ и $\vec{DC} = \vec{AB} = \vec{a}$. Также $\vec{CD} = -\vec{DC} = -\vec{a}$.

Точка P — середина стороны BC, следовательно, $\vec{BP} = \frac{1}{2}\vec{BC} = \frac{1}{2}\vec{b}$.

Точка O — середина стороны CD, следовательно, $\vec{DO} = \frac{1}{2}\vec{DC} = \frac{1}{2}\vec{a}$.

1) Постройте составляющие векторов $\vec{AP}$, $\vec{AO}$, $\vec{DP}$, $\vec{BO}$, $\vec{PO}$ по прямым AB и AD.

Для нахождения составляющих (разложения по базису $\vec{a}$ и $\vec{b}$) воспользуемся правилом сложения векторов (правилом треугольника или многоугольника).

$\vec{AP} = \vec{AB} + \vec{BP} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$

$\vec{AO} = \vec{AD} + \vec{DO} = \vec{b} + \frac{1}{2}\vec{a} = \frac{1}{2}\vec{a} + \vec{b}$

$\vec{DP} = \vec{DA} + \vec{AP} = -\vec{AD} + (\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}) = -\vec{b} + \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} = \vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b}$. Или иначе: $\vec{DP} = \vec{DC} + \vec{CP} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{CB} = \vec{a} - \frac{1}{2}\vec{BC} = \vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b}$.

$\vec{BO} = \vec{BA} + \vec{AO} = -\vec{AB} + (\frac{1}{2}\vec{a} + \vec{b}) = -\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{a} + \vec{b} = -\frac{1}{2}\vec{a} + \vec{b}$. Или иначе: $\vec{BO} = \vec{BC} + \vec{CO} = \vec{b} + \frac{1}{2}\vec{CD} = \vec{b} - \frac{1}{2}\vec{a}$.

$\vec{PO} = \vec{PA} + \vec{AO} = -(\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}) + (\frac{1}{2}\vec{a} + \vec{b}) = -\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{a} + \vec{b} = -\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$. Заметим, что PO — средняя линия треугольника BCD, поэтому $\vec{PO} = \frac{1}{2}\vec{BD} = \frac{1}{2}(\vec{AD} - \vec{AB}) = \frac{1}{2}(\vec{b} - \vec{a})$.

Ответ: $\vec{AP} = \vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AD}$; $\vec{AO} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \vec{AD}$; $\vec{DP} = \vec{AB} - \frac{1}{2}\vec{AD}$; $\vec{BO} = -\frac{1}{2}\vec{AB} + \vec{AD}$; $\vec{PO} = -\frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AD}$.

2) Постройте составляющие векторов $\vec{AB}$, $\vec{DB}$, $\vec{AC}$ по прямым AP и AO.

Обозначим новые базисные векторы: $\vec{p} = \vec{AP}$ и $\vec{q} = \vec{AO}$. Из пункта 1 имеем систему уравнений, связывающую старый и новый базисы:

$\vec{p} = \vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AD}$

$\vec{q} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \vec{AD}$

Решим эту систему относительно $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$. Умножим первое уравнение на 2:

$2\vec{p} = 2\vec{AB} + \vec{AD}$

Выразим $\vec{AD}$: $\vec{AD} = 2\vec{p} - 2\vec{AB}$. Подставим это во второе уравнение:

$\vec{q} = \frac{1}{2}\vec{AB} + (2\vec{p} - 2\vec{AB}) = 2\vec{p} - \frac{3}{2}\vec{AB}$

Отсюда выразим $\vec{AB}$:

$\frac{3}{2}\vec{AB} = 2\vec{p} - \vec{q} \implies \vec{AB} = \frac{2}{3}(2\vec{p} - \vec{q}) = \frac{4}{3}\vec{p} - \frac{2}{3}\vec{q}$

Теперь найдем $\vec{AD}$:

$\vec{AD} = 2\vec{p} - 2\vec{AB} = 2\vec{p} - 2(\frac{4}{3}\vec{p} - \frac{2}{3}\vec{q}) = 2\vec{p} - \frac{8}{3}\vec{p} + \frac{4}{3}\vec{q} = -\frac{2}{3}\vec{p} + \frac{4}{3}\vec{q}$

Итак, мы выразили векторы старого базиса через новый:

$\vec{AB} = \frac{4}{3}\vec{AP} - \frac{2}{3}\vec{AO}$

$\vec{AD} = -\frac{2}{3}\vec{AP} + \frac{4}{3}\vec{AO}$

Теперь найдем разложения для заданных векторов:

$\vec{AB}$: Это первый вектор нового базиса, его разложение уже найдено: $\vec{AB} = \frac{4}{3}\vec{AP} - \frac{2}{3}\vec{AO}$.

$\vec{DB} = \vec{AB} - \vec{AD} = (\frac{4}{3}\vec{AP} - \frac{2}{3}\vec{AO}) - (-\frac{2}{3}\vec{AP} + \frac{4}{3}\vec{AO}) = (\frac{4}{3}+\frac{2}{3})\vec{AP} + (-\frac{2}{3}-\frac{4}{3})\vec{AO} = \frac{6}{3}\vec{AP} - \frac{6}{3}\vec{AO} = 2\vec{AP} - 2\vec{AO}$.

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD} = (\frac{4}{3}\vec{AP} - \frac{2}{3}\vec{AO}) + (-\frac{2}{3}\vec{AP} + \frac{4}{3}\vec{AO}) = (\frac{4}{3}-\frac{2}{3})\vec{AP} + (-\frac{2}{3}+\frac{4}{3})\vec{AO} = \frac{2}{3}\vec{AP} + \frac{2}{3}\vec{AO}$.

Ответ: $\vec{AB} = \frac{4}{3}\vec{AP} - \frac{2}{3}\vec{AO}$; $\vec{DB} = 2\vec{AP} - 2\vec{AO}$; $\vec{AC} = \frac{2}{3}\vec{AP} + \frac{2}{3}\vec{AO}$.