Номер 1.32, страница 28 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.32. В треугольнике ABC $\vec{AB}=\vec{a}$ и $\vec{AC}=\vec{b}$. Выразите:

1) $\vec{BA}$;

2) $\vec{CB}$;

3) $\vec{CB} + \vec{BA}$ через векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

В данной задаче нам дан треугольник ABC и два вектора, которые определены на его сторонах: $\overrightarrow{AB} = \vec{a}$ и $\overrightarrow{AC} = \vec{b}$. Нам нужно выразить другие векторы, связанные с этим треугольником, через базисные векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

1) $\overrightarrow{BA}$

Вектор $\overrightarrow{BA}$ имеет то же направление, что и отрезок BA, но его начало в точке B, а конец в точке A. Вектор $\overrightarrow{AB}$ имеет начало в точке A и конец в точке B. Таким образом, вектор $\overrightarrow{BA}$ является противоположным вектору $\overrightarrow{AB}$. Противоположный вектор обозначается знаком минус.

$\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$

Поскольку по условию задачи $\overrightarrow{AB} = \vec{a}$, мы можем подставить это значение:

$\overrightarrow{BA} = -\vec{a}$

Ответ: $\overrightarrow{BA} = -\vec{a}$.

2) $\overrightarrow{CB}$

Для нахождения вектора $\overrightarrow{CB}$ воспользуемся правилом сложения векторов для сторон треугольника. Векторы, образующие замкнутый контур, в сумме дают нулевой вектор ($\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = \vec{0}$), или же можно использовать правило треугольника (правило Шаля): $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AB}$.

Выразим из этого соотношения искомый вектор $\overrightarrow{CB}$:

$\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}$

Теперь подставим данные в условии векторы $\overrightarrow{AB} = \vec{a}$ и $\overrightarrow{AC} = \vec{b}$:

$\overrightarrow{CB} = \vec{a} - \vec{b}$

Ответ: $\overrightarrow{CB} = \vec{a} - \vec{b}$.

3) $\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BA}$

Для нахождения этой суммы векторов можно пойти двумя путями.

Способ 1: Использование правила сложения векторов (правило Шаля). Если начало второго вектора ($\overrightarrow{BA}$) совпадает с концом первого вектора ($\overrightarrow{CB}$), то их суммой будет вектор, соединяющий начало первого вектора (C) с концом второго (A).

$\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CA}$

Вектор $\overrightarrow{CA}$ является противоположным вектору $\overrightarrow{AC}$.

$\overrightarrow{CA} = -\overrightarrow{AC}$

Так как по условию $\overrightarrow{AC} = \vec{b}$, то $\overrightarrow{CA} = -\vec{b}$.

Следовательно, $\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BA} = -\vec{b}$.

Способ 2: Использование результатов, полученных в предыдущих пунктах.

Из пункта 1 мы знаем, что $\overrightarrow{BA} = -\vec{a}$.

Из пункта 2 мы знаем, что $\overrightarrow{CB} = \vec{a} - \vec{b}$.

Сложим эти два вектора:

$\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BA} = (\vec{a} - \vec{b}) + (-\vec{a}) = \vec{a} - \vec{b} - \vec{a} = -\vec{b}$

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: $\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BA} = -\vec{b}$.