Номер 1.25, страница 27 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.25. Найдите разность векторов:

1) $\vec{AB} - \vec{AC}$;

2) $\vec{AC} - \vec{AB}$;

3) $\vec{PQ} - \vec{PR}$;

4) $(\vec{AB} - \vec{AC}) - \vec{CD}$;

5) $\vec{MN} - \vec{NN}$.

1) Для нахождения разности векторов $\vec{AB} - \vec{AC}$, которые исходят из одной точки A, можно воспользоваться правилом вычитания векторов. Разность двух векторов, проведенных из одной точки, — это вектор, соединяющий их концы и направленный от конца вычитаемого вектора к концу уменьшаемого вектора.
Геометрически, если рассмотреть треугольник ABC, то по правилу сложения векторов (правило треугольника) имеем: $\vec{AC} + \vec{CB} = \vec{AB}$.
Выразим из этого равенства вектор $\vec{CB}$:
$\vec{CB} = \vec{AB} - \vec{AC}$.
Другой способ — это заменить вычитание сложением с противоположным вектором. Вектор, противоположный $\vec{AC}$, — это $\vec{CA}$.
$\vec{AB} - \vec{AC} = \vec{AB} + (-\vec{AC}) = \vec{AB} + \vec{CA}$.
Используя правило сложения векторов "цепочкой" (правило Шаля), получаем: $\vec{CA} + \vec{AB} = \vec{CB}$.
Ответ: $\vec{CB}$.

2) Разность векторов $\vec{AC} - \vec{AB}$ находится аналогично предыдущему пункту. Векторы исходят из одной точки A.
Используя правило треугольника для векторов в треугольнике ABC, получаем: $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.
Выражая из этого равенства вектор $\vec{BC}$, получаем: $\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}$.
Также можно заметить, что данное выражение является противоположным выражению из пункта 1:
$\vec{AC} - \vec{AB} = -(\vec{AB} - \vec{AC})$.
Поскольку из пункта 1 мы знаем, что $\vec{AB} - \vec{AC} = \vec{CB}$, то:
$\vec{AC} - \vec{AB} = -(\vec{CB}) = \vec{BC}$.
Ответ: $\vec{BC}$.

3) Разность векторов $\vec{PQ} - \vec{PR}$ вычисляется по тому же правилу, что и в пункте 1, так как оба вектора исходят из одной точки P.
Для точек P, Q, R по правилу треугольника: $\vec{PR} + \vec{RQ} = \vec{PQ}$.
Отсюда следует, что искомая разность равна вектору $\vec{RQ}$:
$\vec{RQ} = \vec{PQ} - \vec{PR}$.
Ответ: $\vec{RQ}$.

4) Данное выражение $(\vec{AB} - \vec{AC}) - \vec{CD}$ решается в два шага.
Сначала выполним действие в скобках. Как мы выяснили в пункте 1, разность $\vec{AB} - \vec{AC}$ равна вектору $\vec{CB}$.
$\vec{AB} - \vec{AC} = \vec{CB}$.
Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:
$(\vec{AB} - \vec{AC}) - \vec{CD} = \vec{CB} - \vec{CD}$.
Далее находим разность векторов $\vec{CB} - \vec{CD}$, которые исходят из одной точки C. По аналогии с предыдущими пунктами (используя правило треугольника для точек C, D, B):
$\vec{CD} + \vec{DB} = \vec{CB}$.
Следовательно, $\vec{DB} = \vec{CB} - \vec{CD}$.
Ответ: $\vec{DB}$.

5) В выражении $\vec{MN} - \vec{NN}$ вектор $\vec{NN}$ — это вектор, у которого начало и конец совпадают в точке N. Такой вектор называется нулевым вектором и обозначается как $\vec{0}$. Его длина равна нулю.
$\vec{NN} = \vec{0}$.
Следовательно, выражение можно переписать так:
$\vec{MN} - \vec{NN} = \vec{MN} - \vec{0}$.
Вычитание нулевого вектора из любого вектора не изменяет этот вектор.
$\vec{MN} - \vec{0} = \vec{MN}$.
Ответ: $\vec{MN}$.