Номер 1.21, страница 27 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.21. Найдите сумму векторов:

1) $ \vec{OA} + \vec{AB} + \vec{BC} $;

2) $ \vec{KP} + \vec{MN} + \vec{NK} $;

3) $ \vec{OP} + \vec{QR} + \vec{PQ} + \vec{RO} $.

1) Для нахождения суммы векторов $ \vec{OA} + \vec{AB} + \vec{BC} $ используется правило многоугольника (или правило цепи). Согласно этому правилу, если несколько векторов образуют последовательную цепь (конец предыдущего вектора является началом следующего), то их сумма — это вектор, соединяющий начало первого вектора с концом последнего. Сначала сложим первые два вектора: $ \vec{OA} + \vec{AB} = \vec{OB} $. Затем к полученному результату прибавим третий вектор: $ \vec{OB} + \vec{BC} = \vec{OC} $. Таким образом, $ \vec{OA} + \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{OC} $. Ответ: $ \vec{OC} $.

2) Для нахождения суммы $ \vec{KP} + \vec{MN} + \vec{NK} $ воспользуемся переместительным свойством сложения векторов (сумма не зависит от порядка слагаемых), чтобы составить из них цепь. Переставим векторы: $ \vec{MN} + \vec{NK} + \vec{KP} $. Теперь векторы образуют последовательную цепь: M → N → K → P. Применим правило многоугольника: $ (\vec{MN} + \vec{NK}) + \vec{KP} = \vec{MK} + \vec{KP} = \vec{MP} $. Ответ: $ \vec{MP} $.

3) Для нахождения суммы $ \vec{OP} + \vec{QR} + \vec{PQ} + \vec{RO} $ также используем переместительное свойство сложения, чтобы сгруппировать векторы в цепь. Расположим векторы в следующем порядке: $ \vec{OP} + \vec{PQ} + \vec{QR} + \vec{RO} $. Эта последовательность векторов образует замкнутый контур, так как начало первого вектора (точка O) совпадает с концом последнего вектора (точка O). Сложим их последовательно: $ \vec{OP} + \vec{PQ} = \vec{OQ} $. Промежуточная сумма: $ \vec{OQ} + \vec{QR} + \vec{RO} $. Продолжаем сложение: $ \vec{OQ} + \vec{QR} = \vec{OR} $. Остается сложить: $ \vec{OR} + \vec{RO} $. Векторы $ \vec{OR} $ и $ \vec{RO} $ являются противоположными, так как они имеют одинаковую длину, но противоположные направления. Сумма двух противоположных векторов всегда равна нулевому вектору ($ \vec{0} $). Следовательно, $ \vec{OR} + \vec{RO} = \vec{0} $. Ответ: $ \vec{0} $.