Номер 1.26, страница 27 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.26. Дан параллелограмм ABCD. Постройте сумму векторов:

1) $ \vec{BD} + \vec{AC} $;

2) $ \vec{AB} + \vec{DC} $;

3) $ \vec{AD} + \vec{CB} $.

Дан параллелограмм $ABCD$. Это означает, что его противолежащие стороны параллельны и равны по длине. В векторной форме это можно записать как $\vec{AB} = \vec{DC}$ и $\vec{AD} = \vec{BC}$. Для решения задачи воспользуемся этими свойствами, а также правилами сложения векторов.

1) $\vec{BD} + \vec{AC}$

Для нахождения суммы векторов $\vec{BD}$ и $\vec{AC}$ (диагоналей параллелограмма), выразим их через векторы сторон, выходящих из одной вершины, например, $A$. Пусть $\vec{AD} = \vec{a}$ и $\vec{AB} = \vec{b}$.
По правилу параллелограмма для сложения векторов, диагональ $\vec{AC}$ является суммой векторов сторон $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ (так как $\vec{BC} = \vec{AD}$):
$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{b} + \vec{a}$.
Вторую диагональ $\vec{BD}$ можно выразить как разность векторов $\vec{AD}$ и $\vec{AB}$ (по правилу треугольника $\vec{AB} + \vec{BD} = \vec{AD}$):
$\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB} = \vec{a} - \vec{b}$.
Теперь сложим полученные выражения:
$\vec{BD} + \vec{AC} = (\vec{a} - \vec{b}) + (\vec{a} + \vec{b}) = \vec{a} - \vec{b} + \vec{a} + \vec{b} = 2\vec{a} = 2\vec{AD}$.
Таким образом, сумма векторов диагоналей параллелограмма равна удвоенному вектору одной из его сторон. Так как $\vec{AD} = \vec{BC}$, результат можно также записать как $2\vec{BC}$.
Построение: Искомый вектор — это вектор $\vec{AE}$, который начинается в точке $A$, направлен вдоль стороны $AD$ и имеет длину, вдвое большую длины стороны $AD$. Точка $D$ является серединой отрезка $AE$.

Ответ: $2\vec{AD}$ (или $2\vec{BC}$).

2) $\vec{AB} + \vec{DC}$

В параллелограмме $ABCD$ противолежащие стороны $AB$ и $DC$ параллельны и равны по длине. Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ сонаправлены (имеют одинаковое направление) и равны по модулю. Следовательно, эти векторы равны: $\vec{AB} = \vec{DC}$.
Тогда сумма векторов равна:
$\vec{AB} + \vec{DC} = \vec{AB} + \vec{AB} = 2\vec{AB}$.
Построение: Искомый вектор — это вектор $\vec{AF}$, который начинается в точке $A$, направлен вдоль стороны $AB$ и имеет длину, вдвое большую длины стороны $AB$. Точка $B$ является серединой отрезка $AF$.

Ответ: $2\vec{AB}$ (или $2\vec{DC}$).

3) $\vec{AD} + \vec{CB}$

В параллелограмме $ABCD$ противолежащие стороны $AD$ и $BC$ параллельны и равны по длине. Вектор $\vec{AD}$ направлен от $A$ к $D$. Вектор $\vec{BC}$ сонаправлен с вектором $\vec{AD}$, то есть $\vec{AD} = \vec{BC}$.
Вектор $\vec{CB}$ направлен от $C$ к $B$, то есть он противоположен вектору $\vec{BC}$. Следовательно:
$\vec{CB} = -\vec{BC}$.
Так как $\vec{AD} = \vec{BC}$, то можно записать, что $\vec{CB} = -\vec{AD}$.
Теперь найдем сумму векторов:
$\vec{AD} + \vec{CB} = \vec{AD} + (-\vec{AD}) = \vec{0}$.
Сумма двух противоположных векторов равна нулевому вектору. Нулевой вектор — это вектор, у которого начало и конец совпадают. Его длина равна нулю, а направление не определено.
Построение: Если отложить вектор $\vec{AD}$ из точки $A$, а затем от его конца (точки $D$) отложить вектор $\vec{CB}$, то конец второго вектора совпадет с началом первого (точкой $A$), так как $\vec{CB} = \vec{DA}$. Результирующий вектор $\vec{AA}$ является нулевым вектором и изображается точкой.

Ответ: $\vec{0}$ (нулевой вектор).