Номер 1.27, страница 27 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.27. Дан параллелограмм ABCD. Найдите векторы:

1) $\left(\vec{OA} - \vec{OB}\right) + \vec{AC}$;

2) $\left(\vec{AB} - \vec{AO}\right) - \vec{OD}$.

Точка O является точкой пересечения диагоналей параллелограмма.

Дан параллелограмм $ABCD$, точка $O$ — точка пересечения его диагоналей. Для наглядности решения воспользуемся схематическим рисунком.

1) $(\vec{OA} - \vec{OB}) + \vec{AC}$

Первым шагом упростим выражение в скобках. По правилу вычитания векторов, отложенных из одной точки, разность векторов $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$ равна вектору $\vec{BA}$, который соединяет их концы и направлен от конца вычитаемого вектора ($B$) к концу уменьшаемого ($A$).
Таким образом, получаем: $\vec{OA} - \vec{OB} = \vec{BA}$.
Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:
$(\vec{OA} - \vec{OB}) + \vec{AC} = \vec{BA} + \vec{AC}$.
Далее воспользуемся правилом треугольника для сложения векторов. Сумма векторов $\vec{BA}$ и $\vec{AC}$ (где начало второго вектора совпадает с концом первого) равна вектору, идущему из начальной точки первого вектора ($B$) в конечную точку второго вектора ($C$).
Следовательно, $\vec{BA} + \vec{AC} = \vec{BC}$.
Ответ: $\vec{BC}$.

2) $(\vec{AB} - \vec{AO}) - \vec{OD}$

Сначала упростим выражение в скобках. По правилу вычитания векторов, отложенных из одной точки, разность $\vec{AB} - \vec{AO}$ равна вектору $\vec{OB}$.
Подставим это в исходное выражение:
$(\vec{AB} - \vec{AO}) - \vec{OD} = \vec{OB} - \vec{OD}$.
В параллелограмме диагонали в точке пересечения делятся пополам. Следовательно, точка $O$ является серединой диагонали $BD$.
Это означает, что векторы $\vec{BO}$ и $\vec{OD}$ равны, так как они сонаправлены (направлены из $B$ в $D$) и имеют одинаковую длину: $\vec{BO} = \vec{OD}$.
Вектор $\vec{OB}$ является противоположным вектору $\vec{BO}$, то есть $\vec{OB} = -\vec{BO}$.
Преобразуем выражение $\vec{OB} - \vec{OD}$, используя $\vec{OB} = -\vec{BO}$:
$\vec{OB} - \vec{OD} = -\vec{BO} - \vec{OD}$.
Так как $\vec{BO} = \vec{OD}$, заменим $\vec{BO}$ на $\vec{OD}$:
$-\vec{OD} - \vec{OD} = -2\vec{OD}$.
Вектор диагонали $\vec{BD}$ равен сумме векторов $\vec{BO}$ и $\vec{OD}$. Так как $\vec{BO} = \vec{OD}$, то $\vec{BD} = \vec{OD} + \vec{OD} = 2\vec{OD}$.
Отсюда следует, что $-2\vec{OD} = -\vec{BD}$.
Вектор $-\vec{BD}$ — это вектор, противоположный вектору $\vec{BD}$, то есть вектор $\vec{DB}$.
Ответ: $\vec{DB}$.