Номер 1.34, страница 28 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.34. Диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Выразите выражения $\vec{DC}+\vec{CB}$, $\vec{BO}+\vec{OC}$, $\vec{BO}-\vec{OC}$, $\vec{BA}-\vec{DA}$ через векторы $\vec{a}=\vec{AB}$ и $\vec{b}=\vec{AD}$.

Для решения задачи представим параллелограмм $ABCD$ и заданные векторы $\vec{a} = \vec{AB}$ и $\vec{b} = \vec{AD}$.

Основные свойства векторов в параллелограмме $ABCD$:
1. Векторы противоположных сторон равны: $\vec{DC} = \vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{b}$.
2. Векторы, направленные в противоположные стороны, являются противоположными: $\vec{BA} = -\vec{a}$, $\vec{CB} = -\vec{b}$.
3. Диагонали в точке пересечения $O$ делятся пополам, поэтому $\vec{AO} = \vec{OC}$ и $\vec{BO} = \vec{OD}$.
4. Векторы диагоналей: $\vec{AC} = \vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{BD} = \vec{b} - \vec{a}$.

$\vec{DC} + \vec{CB}$

По правилу сложения векторов (правило треугольника), сумма векторов $\vec{DC}$ и $\vec{CB}$ равна вектору $\vec{DB}$.$\vec{DC} + \vec{CB} = \vec{DB}$.Вектор $\vec{DB}$ противоположен вектору диагонали $\vec{BD}$, то есть $\vec{DB} = -\vec{BD}$.Вектор диагонали $\vec{BD}$ можно выразить как $\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$.Следовательно, $\vec{DB} = -(\vec{b} - \vec{a}) = \vec{a} - \vec{b}$.
Альтернативный способ: так как $ABCD$ — параллелограмм, $\vec{DC} = \vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{CB} = -\vec{BC} = -\vec{AD} = -\vec{b}$.Тогда $\vec{DC} + \vec{CB} = \vec{a} + (-\vec{b}) = \vec{a} - \vec{b}$.
Ответ: $\vec{a} - \vec{b}$.

$\vec{BO} + \vec{OC}$

По правилу сложения векторов, $\vec{BO} + \vec{OC} = \vec{BC}$.В параллелограмме $ABCD$ вектор $\vec{BC}$ равен вектору $\vec{AD}$, так как это противоположные стороны.$\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{b}$.Таким образом, $\vec{BO} + \vec{OC} = \vec{b}$.
Ответ: $\vec{b}$.

$\vec{BO} - \vec{OC}$

Диагонали параллелограмма в точке пересечения $O$ делятся пополам. Для диагонали $AC$ это означает, что $\vec{AO} = \vec{OC}$.Заменим в исходном выражении вектор $\vec{OC}$ на равный ему вектор $\vec{AO}$:$\vec{BO} - \vec{OC} = \vec{BO} - \vec{AO}$.Разность векторов можно представить как сумму: $\vec{BO} - \vec{AO} = \vec{BO} + (-\vec{AO}) = \vec{BO} + \vec{OA}$.По правилу сложения векторов (правило треугольника): $\vec{BO} + \vec{OA} = \vec{BA}$.Вектор $\vec{BA}$ противоположен вектору $\vec{AB}$, поэтому $\vec{BA} = -\vec{AB} = -\vec{a}$.Таким образом, $\vec{BO} - \vec{OC} = -\vec{a}$.
Ответ: $-\vec{a}$.

$\vec{BA} - \vec{DA}$

Преобразуем вычитание векторов в сложение с противоположным вектором. Вектор, противоположный вектору $\vec{DA}$, есть вектор $\vec{AD}$.$\vec{BA} - \vec{DA} = \vec{BA} + (-\vec{DA}) = \vec{BA} + \vec{AD}$.По правилу сложения векторов (правило треугольника), сумма $\vec{BA} + \vec{AD}$ равна вектору $\vec{BD}$.$\vec{BA} + \vec{AD} = \vec{BD}$.Выразим вектор диагонали $\vec{BD}$ через заданные векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$:$\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$.Следовательно, $\vec{BA} - \vec{DA} = \vec{b} - \vec{a}$.
Ответ: $\vec{b} - \vec{a}$.