Номер 1.40, страница 29 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.40. Можно ли разложить вектор длиной $10$ на составляющие так, чтобы один из составляющих векторов по модулю был равен:

1) $1$;

2) $100$?

Разложение вектора $\vec{c}$ на составляющие $\vec{a}$ и $\vec{b}$ означает, что их векторная сумма равна исходному вектору: $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$. Геометрически это означает, что векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ должны образовывать треугольник (возможно, вырожденный, если векторы коллинеарны). Для длин сторон такого треугольника, которые равны модулям векторов $|\vec{a}|$, $|\vec{b}|$ и $|\vec{c}|$, должно выполняться неравенство треугольника:

$||\vec{a}| - |\vec{b}|| \le |\vec{c}| \le |\vec{a}| + |\vec{b}|$

В нашей задаче дан вектор $\vec{c}$ с модулем $|\vec{c}| = 10$. Обозначим модули составляющих векторов как $a = |\vec{a}|$ и $b = |\vec{b}|$. Тогда условие существования такого разложения можно записать в виде:

$|a - b| \le 10 \le a + b$

Рассмотрим оба случая, проверяя, можно ли подобрать такое значение $b \ge 0$, чтобы неравенство выполнялось.

1)

Пусть модуль одного из составляющих векторов равен 1, то есть $a = 1$. Подставим это значение в неравенство треугольника:

$|1 - b| \le 10 \le 1 + b$

Рассмотрим каждую часть неравенства отдельно:
1) $10 \le 1 + b \implies b \ge 9$.
2) $|1 - b| \le 10 \implies -10 \le 1 - b \le 10$.
$1 - b \le 10 \implies -9 \le b$, что всегда верно, так как модуль $b$ не может быть отрицательным.
$1 - b \ge -10 \implies b \le 11$.

Объединяя условия, получаем, что модуль второго вектора $b$ должен находиться в диапазоне $9 \le b \le 11$. Поскольку существует бесконечное множество положительных чисел в этом диапазоне, можно найти такой вектор $\vec{b}$. Например, если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны и сонаправлены, то $|\vec{c}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$, откуда $10 = 1 + b$ и $b=9$. Это значение входит в найденный диапазон. Следовательно, такое разложение возможно.

Ответ: Да, можно.

2)

Пусть модуль одного из составляющих векторов равен 100, то есть $a = 100$. Подставим это значение в неравенство треугольника:

$|100 - b| \le 10 \le 100 + b$

Рассмотрим каждую часть неравенства отдельно:
1) $10 \le 100 + b \implies b \ge -90$, что всегда верно для модуля $b \ge 0$.
2) $|100 - b| \le 10 \implies -10 \le 100 - b \le 10$.
$100 - b \le 10 \implies b \ge 90$.
$100 - b \ge -10 \implies b \le 110$.

Таким образом, модуль второго вектора $b$ должен находиться в диапазоне $90 \le b \le 110$. Поскольку такой диапазон допустимых значений для $b$ существует, то и соответствующий вектор $\vec{b}$ можно найти. Например, если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны и направлены в противоположные стороны, то $|\vec{c}| = ||\vec{a}| - |\vec{b}||$, откуда $10 = |100 - b|$. Решениями этого уравнения являются $b=90$ и $b=110$. Оба значения входят в найденный диапазон. Следовательно, такое разложение также возможно.

Ответ: Да, можно.