Номер 1.44, страница 29 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.44. Угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$, $\vec{a}$ и $\vec{c}$ равен $120^{\circ}$, $\left|\vec{a}\right|=\left|\vec{b}\right|=\left|\vec{c}\right|$. Покажите, что выполняется равенство $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$.

Угол AOB называется углом между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$, если $\vec{a}=\vec{OA}$, $\vec{b}=\vec{OB}$.

Для доказательства равенства $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$ можно использовать два подхода: алгебраический и геометрический.

Алгебраический способ

Вектор равен нулевому вектору тогда и только тогда, когда его скалярный квадрат (квадрат его длины) равен нулю. Вычислим скалярный квадрат вектора-суммы $\vec{s} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$:

$|\vec{s}|^2 = |\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \cdot (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$

Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения:

$|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = \vec{a}\cdot\vec{a} + \vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{a}\cdot\vec{c} + \vec{b}\cdot\vec{a} + \vec{b}\cdot\vec{b} + \vec{b}\cdot\vec{c} + \vec{c}\cdot\vec{a} + \vec{c}\cdot\vec{b} + \vec{c}\cdot\vec{c}$

Сгруппируем слагаемые, учитывая, что $\vec{x}\cdot\vec{y} = \vec{y}\cdot\vec{x}$ и $\vec{x}\cdot\vec{x} = |\vec{x}|^2$:

$|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{a}\cdot\vec{c} + \vec{b}\cdot\vec{c})$

По условию задачи, модули векторов равны. Обозначим их длину через $k$: $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = k$.

Углы между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$, а также между $\vec{a}$ и $\vec{c}$ равны $120^\circ$. Симметрия задачи и тот факт, что доказываемое равенство должно выполняться, предполагают, что и угол между векторами $\vec{b}$ и $\vec{c}$ также равен $120^\circ$. При таком условии векторы оказываются компланарными (лежат в одной плоскости) и направлены из центра равностороннего треугольника к его вершинам. Покажем, что при этом условии сумма векторов действительно равна нулю.

Вычислим скалярные произведения, используя формулу $\vec{x}\cdot\vec{y} = |\vec{x}||\vec{y}|\cos(\angle(\vec{x},\vec{y}))$ и то, что $\cos(120^\circ) = -1/2$:

$\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos(120^\circ) = k \cdot k \cdot (-1/2) = -k^2/2$

$\vec{a}\cdot\vec{c} = |\vec{a}||\vec{c}|\cos(120^\circ) = k \cdot k \cdot (-1/2) = -k^2/2$

$\vec{b}\cdot\vec{c} = |\vec{b}||\vec{c}|\cos(120^\circ) = k \cdot k \cdot (-1/2) = -k^2/2$

Подставим полученные значения в выражение для скалярного квадрата:

$|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = k^2 + k^2 + k^2 + 2(-k^2/2 - k^2/2 - k^2/2) = 3k^2 + 2(-3k^2/2) = 3k^2 - 3k^2 = 0$

Поскольку скалярный квадрат суммы векторов равен нулю (и мы можем считать, что $k \ne 0$, иначе векторы нулевые и утверждение тривиально), то и сам вектор суммы равен нулевому вектору.

Геометрический способ

Отложим векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ от одной точки $O$. Тогда $\vec{a} = \vec{OA}$, $\vec{b} = \vec{OB}$, $\vec{c} = \vec{OC}$. По условию, длины этих векторов равны, то есть $|OA| = |OB| = |OC|$, а углы $\angle AOB = 120^\circ$ и $\angle AOC = 120^\circ$. Чтобы эти три вектора были различны, они должны лежать в одной плоскости, и угол $\angle BOC$ также будет равен $120^\circ$. Векторы направлены из центра $O$ под углами $120^\circ$ друг к другу.

Найдем сумму векторов $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$, используя правило параллелограмма. Сначала сложим векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Их сумма $\vec{d} = \vec{a} + \vec{b}$ является диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах. Так как $|\vec{a}| = |\vec{b}|$, этот параллелограмм является ромбом.

Векторная сумма $\vec{d} = \vec{a} + \vec{c}$ (на рисунке для наглядности сложены $\vec{a}$ и $\vec{c}$) является диагональю ромба $OADC$. Эта диагональ $OD$ является биссектрисой угла $\angle AOC$. Следовательно, угол между вектором $\vec{a}$ и вектором $\vec{d}=\vec{a}+\vec{c}$ равен $120^\circ / 2 = 60^\circ$. Длина вектора $\vec{d}$ может быть найдена по теореме косинусов для треугольника $OAD$ (где $AD$ параллелен и равен $OC$):

$|\vec{d}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2\vec{a}\cdot\vec{c} = k^2 + k^2 + 2k^2\cos(120^\circ) = 2k^2 + 2k^2(-1/2) = k^2$

Отсюда $|\vec{d}| = k$. То есть, $|\vec{a}+\vec{c}| = |\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}|$.

Теперь нужно сложить полученный вектор $\vec{d} = \vec{a}+\vec{c}$ с вектором $\vec{b}$. Найдем угол между $\vec{d}$ и $\vec{b}$. Вектор $\vec{d}$ образует угол $60^\circ$ с вектором $\vec{a}$. Вектор $\vec{b}$ образует угол $120^\circ$ с вектором $\vec{a}$. Так как $\vec{c}$ и $\vec{b}$ находятся по разные стороны от прямой, содержащей вектор $\vec{a}$, то угол между $\vec{d}$ и $\vec{b}$ равен сумме углов, которые они образуют с $\vec{a}$: $60^\circ + 120^\circ = 180^\circ$.

Таким образом, векторы $\vec{d}$ и $\vec{b}$ имеют одинаковую длину $k$ и направлены в противоположные стороны (угол между ними $180^\circ$). Их сумма равна нулевому вектору:

$\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = (\vec{a} + \vec{c}) + \vec{b} = \vec{d} + \vec{b} = \vec{0}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$ выполняется, так как данные условия приводят к тому, что векторы компланарны и расположены симметрично под углом $120^\circ$ друг к другу. Сумма таких трех векторов равна нулевому вектору, что было показано как алгебраически, так и геометрически.