Номер 1.41, страница 29 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.41. Дан параллелограмм $ABCD$. Докажите, что для любой точки $X$ на плоскости верно равенство $\vec{XA} + \vec{XC} = \vec{XB} + \vec{XD}$.

Для доказательства данного равенства преобразуем его. Исходное равенство: $ \vec{XA} + \vec{XC} = \vec{XB} + \vec{XD} $

Перенесем векторы так, чтобы сгруппировать их для последующего вычитания. Вектор $ \vec{XB} $ перенесем в левую часть, а вектор $ \vec{XC} $ — в правую часть, изменив их знаки: $ \vec{XA} - \vec{XB} = \vec{XD} - \vec{XC} $

Теперь воспользуемся правилом вычитания векторов, которое гласит, что для любых трех точек P, Q, R разность векторов $ \vec{RP} - \vec{RQ} $ равна вектору $ \vec{QP} $. Применим это правило к обеим частям нашего равенства.

В левой части $ \vec{XA} - \vec{XB} $, точка X является общей начальной точкой. По правилу вычитания, эта разность равна вектору, идущему от конца второго вектора (B) к концу первого (A): $ \vec{XA} - \vec{XB} = \vec{BA} $

Аналогично, в правой части $ \vec{XD} - \vec{XC} $, точка X также является общей начальной точкой. Разность равна вектору, идущему от точки C к точке D: $ \vec{XD} - \vec{XC} = \vec{CD} $

Подставив полученные выражения обратно в преобразованное равенство, мы приходим к следующему соотношению: $ \vec{BA} = \vec{CD} $

Теперь нам нужно доказать, что равенство $ \vec{BA} = \vec{CD} $ является верным для любого параллелограмма ABCD. По определению, в параллелограмме ABCD противоположные стороны параллельны и равны по длине. Это означает, что векторы, направленные вдоль этих сторон, равны. В частности, для сторон AB и DC имеем: $ \vec{AB} = \vec{DC} $

Векторы $ \vec{BA} $ и $ \vec{AB} $ являются противоположными, поэтому $ \vec{BA} = -\vec{AB} $. Аналогично, векторы $ \vec{CD} $ и $ \vec{DC} $ являются противоположными, поэтому $ \vec{CD} = -\vec{DC} $.

Из равенства $ \vec{AB} = \vec{DC} $ следует, что $ -\vec{AB} = -\vec{DC} $. Заменяя $ -\vec{AB} $ на $ \vec{BA} $ и $ -\vec{DC} $ на $ \vec{CD} $, получаем: $ \vec{BA} = \vec{CD} $

Таким образом, мы доказали, что равенство $ \vec{BA} = \vec{CD} $ справедливо для любого параллелограмма ABCD. Поскольку все наши шаги преобразования исходного равенства были эквивалентными, это означает, что исходное равенство $ \vec{XA} + \vec{XC} = \vec{XB} + \vec{XD} $ также верно для любой точки X на плоскости.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.