Номер 1.45, страница 29 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.45. Векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ отложены от точки $O$ так, что $\vec{OA}=\vec{a}$, $\vec{OB}=\vec{b}$ и $\vec{OC}=\vec{c}$, причем $\angle AOB=90^\circ$, $\angle AOC=135^\circ$, $\angle BOC=135^\circ$, $|\vec{a}|=|\vec{b}|=1$ и $|\vec{c}|=\sqrt{2}$. Докажите, что выполняется равенство $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$.

Для доказательства равенства $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$ достаточно показать, что квадрат модуля (длины) вектора-суммы равен нулю. Вектор равен нулевому вектору тогда и только тогда, когда его модуль равен нулю.

Найдем квадрат модуля вектора $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$, который равен скалярному квадрату этого вектора:

$|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \cdot (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$

Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения (дистрибутивность и коммутативность):

$|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b} + \vec{c} \cdot \vec{c} + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 2(\vec{a} \cdot \vec{c}) + 2(\vec{b} \cdot \vec{c})$

Используя определение скалярного произведения $\vec{x} \cdot \vec{y} = |\vec{x}||\vec{y}|\cos(\alpha)$, где $\alpha$ — угол между векторами, и свойство $\vec{x} \cdot \vec{x} = |\vec{x}|^2$, вычислим каждый член выражения, используя данные из условия задачи:

Модули векторов:

$|\vec{a}| = 1 \Rightarrow |\vec{a}|^2 = 1$

$|\vec{b}| = 1 \Rightarrow |\vec{b}|^2 = 1$

$|\vec{c}| = \sqrt{2} \Rightarrow |\vec{c}|^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$

Скалярные произведения:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos(\angle AOB) = 1 \cdot 1 \cdot \cos(90^\circ) = 1 \cdot 1 \cdot 0 = 0$

$\vec{a} \cdot \vec{c} = |\vec{a}||\vec{c}|\cos(\angle AOC) = 1 \cdot \sqrt{2} \cdot \cos(135^\circ) = \sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -1$

$\vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{b}||\vec{c}|\cos(\angle BOC) = 1 \cdot \sqrt{2} \cdot \cos(135^\circ) = \sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -1$

Теперь подставим все вычисленные значения в формулу для квадрата модуля суммы:

$|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = 1 + 1 + 2 + 2(0) + 2(-1) + 2(-1) = 4 + 0 - 2 - 2 = 0$

Поскольку квадрат модуля вектора $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ равен нулю, то и сам модуль равен нулю: $|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| = 0$. Это означает, что вектор $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ является нулевым вектором.

Следовательно, равенство $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$ выполняется, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$ доказано.