Номер 1.48, страница 32 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.48. Пусть даны векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и числа $\alpha$ и $\beta$. Сумма $\alpha\vec{a}+\beta\vec{b}$ называется линейной комбинацией векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

1) Представьте векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{a}+\vec{b}$, $\vec{0}$ в виде линейной комбинации векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

2) Как расположены эти линейные комбинации по сравнению с векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$, если $\vec{a}||\vec{b}$?

1)

Линейная комбинация векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ по определению имеет вид $\alpha\vec{a} + \beta\vec{b}$, где $\alpha$ и $\beta$ — это числовые коэффициенты. Чтобы представить заданные векторы в виде такой комбинации, нужно найти для каждого из них соответствующие значения $\alpha$ и $\beta$.

Для вектора $\vec{a}$: чтобы в результате получился вектор $\vec{a}$, нужно взять его с коэффициентом 1, а вектор $\vec{b}$ — с коэффициентом 0. Таким образом, $\alpha=1$, $\beta=0$, и мы получаем $\vec{a} = 1 \cdot \vec{a} + 0 \cdot \vec{b}$.

Для вектора $\vec{b}$: по аналогии, берем вектор $\vec{a}$ с коэффициентом 0 и вектор $\vec{b}$ с коэффициентом 1. Таким образом, $\alpha=0$, $\beta=1$, и мы получаем $\vec{b} = 0 \cdot \vec{a} + 1 \cdot \vec{b}$.

Для вектора $\vec{a}+\vec{b}$: чтобы получить их сумму, нужно взять оба вектора с коэффициентом 1. Таким образом, $\alpha=1$, $\beta=1$, и мы получаем $\vec{a} + \vec{b} = 1 \cdot \vec{a} + 1 \cdot \vec{b}$.

Для нулевого вектора $\vec{0}$: чтобы получить нулевой вектор, оба вектора нужно взять с коэффициентом 0. Таким образом, $\alpha=0$, $\beta=0$, и мы получаем $\vec{0} = 0 \cdot \vec{a} + 0 \cdot \vec{b}$.

Ответ:
$\vec{a} = 1 \cdot \vec{a} + 0 \cdot \vec{b}$
$\vec{b} = 0 \cdot \vec{a} + 1 \cdot \vec{b}$
$\vec{a} + \vec{b} = 1 \cdot \vec{a} + 1 \cdot \vec{b}$
$\vec{0} = 0 \cdot \vec{a} + 0 \cdot \vec{b}$

2)

Условие $\vec{a} \parallel \vec{b}$ означает, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны, то есть лежат на одной прямой или на параллельных прямых. По определению коллинеарности, существует такое число $k$, что $\vec{b} = k\vec{a}$ (при условии, что $\vec{a} \neq \vec{0}$).

Рассмотрим любую линейную комбинацию этих векторов, которую можно обозначить как вектор $\vec{c} = \alpha\vec{a} + \beta\vec{b}$. Подставим в это выражение $\vec{b} = k\vec{a}$:

$\vec{c} = \alpha\vec{a} + \beta(k\vec{a})$

Используя свойства операций над векторами, вынесем $\vec{a}$ за скобки:

$\vec{c} = (\alpha + \beta k)\vec{a}$

Это равенство показывает, что любой результирующий вектор $\vec{c}$ получается умножением вектора $\vec{a}$ на некоторое число $(\alpha + \beta k)$. Следовательно, вектор $\vec{c}$ всегда будет коллинеарен вектору $\vec{a}$. Поскольку $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны, то и любая их линейная комбинация будет коллинеарна им обоим.

Это относится ко всем векторам, представленным в пункте 1. Все они ($\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{a}+\vec{b}$, $\vec{0}$) будут коллинеарны исходным векторам $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Геометрически это означает, что если отложить все эти векторы от одной точки, они окажутся на одной и той же прямой.

Ответ: Если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ параллельны, то все указанные линейные комбинации ($\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{a}+\vec{b}$, $\vec{0}$) являются векторами, коллинеарными (т.е. параллельными) исходным векторам $\vec{a}$ и $\vec{b}$.