Номер 1.54, страница 33 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.54. Точка N лежит на стороне BC параллелограмма ABCD так, что BN : NC=3 : 1. Выразите векторы $\vec{AN}$ и $\vec{ND}$ через векторы $\vec{a}=AD$ и $\vec{b}=AB$.

Для решения задачи воспользуемся свойствами векторов и параллелограмма. Построим чертеж для наглядности.

$\vec{AN}$

Вектор $\vec{AN}$ можно выразить по правилу сложения векторов (правило треугольника), пройдя из точки $A$ в точку $N$ через точку $B$:$\vec{AN} = \vec{AB} + \vec{BN}$.

По условию задачи нам дано, что $\vec{AB} = \vec{b}$.

Теперь необходимо выразить вектор $\vec{BN}$ через заданные векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Точка $N$ лежит на стороне $BC$ и делит ее в отношении $BN:NC=3:1$. Это означает, что длина отрезка $BN$ составляет $\frac{3}{3+1} = \frac{3}{4}$ от длины всей стороны $BC$. Так как точка $N$ лежит между $B$ и $C$, векторы $\vec{BN}$ и $\vec{BC}$ сонаправлены. Следовательно, мы можем записать:$\vec{BN} = \frac{3}{4}\vec{BC}$.

В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны равны и параллельны, поэтому векторы, построенные на этих сторонах, равны: $\vec{BC} = \vec{AD}$.

Из условия мы знаем, что $\vec{AD} = \vec{a}$, значит, $\vec{BC} = \vec{a}$.

Подставим это в выражение для $\vec{BN}$:$\vec{BN} = \frac{3}{4}\vec{a}$.

Теперь подставим выражения для $\vec{AB}$ и $\vec{BN}$ в исходную формулу для $\vec{AN}$:$\vec{AN} = \vec{AB} + \vec{BN} = \vec{b} + \frac{3}{4}\vec{a}$.

Ответ: $\vec{AN} = \vec{b} + \frac{3}{4}\vec{a}$.

$\vec{ND}$

Для нахождения вектора $\vec{ND}$ также воспользуемся правилом сложения векторов. Пройдем из точки $N$ в точку $D$ через точку $C$:$\vec{ND} = \vec{NC} + \vec{CD}$.

Найдем вектор $\vec{NC}$. Из отношения $BN:NC=3:1$ следует, что длина $NC$ составляет $\frac{1}{3+1} = \frac{1}{4}$ от длины $BC$. Векторы $\vec{NC}$ и $\vec{BC}$ сонаправлены.$\vec{NC} = \frac{1}{4}\vec{BC}$.

Так как $\vec{BC} = \vec{a}$, получаем:$\vec{NC} = \frac{1}{4}\vec{a}$.

Теперь найдем вектор $\vec{CD}$. В параллелограмме $ABCD$ вектор $\vec{CD}$ равен вектору $\vec{BA}$. Вектор $\vec{BA}$ является противоположным вектору $\vec{AB}$:$\vec{CD} = \vec{BA} = -\vec{AB}$.

По условию $\vec{AB} = \vec{b}$, следовательно:$\vec{CD} = -\vec{b}$.

Подставим найденные выражения для $\vec{NC}$ и $\vec{CD}$ в формулу для $\vec{ND}$:$\vec{ND} = \vec{NC} + \vec{CD} = \frac{1}{4}\vec{a} - \vec{b}$.

Проверка: можно выразить $\vec{ND}$ через уже найденный вектор $\vec{AN}$ и данный вектор $\vec{AD}$. В треугольнике $AND$ справедливо равенство $\vec{AD} = \vec{AN} + \vec{ND}$. Отсюда $\vec{ND} = \vec{AD} - \vec{AN} = \vec{a} - (\vec{b} + \frac{3}{4}\vec{a}) = \vec{a} - \vec{b} - \frac{3}{4}\vec{a} = (1 - \frac{3}{4})\vec{a} - \vec{b} = \frac{1}{4}\vec{a} - \vec{b}$. Результаты совпадают.

Ответ: $\vec{ND} = \frac{1}{4}\vec{a} - \vec{b}$.