Номер 1.60, страница 34 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.60. На стороне QR ромба PQRT взята точка K так, чтобы выполнялось равенство $QK=5 \cdot KR$, а точка E является серединой стороны PQ. Выразите векторы $\vec{TK}$ и $\vec{KE}$ через векторы $\vec{TP}=\vec{m}$ и $\vec{TR}=\vec{n}$.

По условию задачи, PQRT – это ромб, вершины которого перечислены последовательно. Определим векторы сторон ромба через заданные базисные векторы $\vec{TP} = \vec{m}$ и $\vec{TR} = \vec{n}$. В параллелограмме (и, в частности, в ромбе) противолежащие стороны параллельны и равны. Для ромба PQRT стороны PQ и RT являются противолежащими, следовательно, векторы, их представляющие, связаны соотношением $\vec{PQ} = -\vec{RT} = \vec{TR}$. Таким образом, $\vec{PQ} = \vec{n}$. Аналогично, стороны QR и TP являются противолежащими, следовательно, $\vec{QR} = \vec{PT}$. Так как $\vec{PT} = -\vec{TP}$, получаем $\vec{QR} = -\vec{TP} = -\vec{m}$.

Таким образом, мы выразили векторы сторон ромба через $\vec{m}$ и $\vec{n}$: $\vec{PQ} = \vec{n}$ и $\vec{QR} = -\vec{m}$. Поскольку это ромб, длины всех сторон равны, что означает $|\vec{PQ}| = |\vec{QR}|$, и следовательно, $|\vec{n}| = |-\vec{m}| = |\vec{m}|$.

Выразим вектор $\vec{TK}$

Точка K лежит на стороне QR, причем выполняется равенство $QK = 5 \cdot KR$. Это означает, что точка K делит отрезок QR в отношении 5:1, считая от точки Q. Длина всего отрезка $QR = QK + KR = 5KR + KR = 6KR$.

Векторы $\vec{QK}$ и $\vec{KR}$ коллинеарны вектору $\vec{QR}$ и направлены в ту же сторону. Следовательно, мы можем записать $\vec{KR} = \frac{1}{6}\vec{QR}$.

Подставим ранее найденное выражение для $\vec{QR} = -\vec{m}$:

$\vec{KR} = \frac{1}{6}(-\vec{m}) = -\frac{1}{6}\vec{m}$

Для нахождения вектора $\vec{TK}$ воспользуемся правилом сложения векторов (правилом многоугольника), пройдя по маршруту T → R → K:

$\vec{TK} = \vec{TR} + \vec{RK}$

Нам известен вектор $\vec{TR} = \vec{n}$. Вектор $\vec{RK}$ противоположен вектору $\vec{KR}$:

$\vec{RK} = -\vec{KR} = -(-\frac{1}{6}\vec{m}) = \frac{1}{6}\vec{m}$

Теперь подставим все в формулу для $\vec{TK}$:

$\vec{TK} = \vec{n} + \frac{1}{6}\vec{m}$

Ответ: $\vec{TK} = \frac{1}{6}\vec{m} + \vec{n}$.

Выразим вектор $\vec{KE}$

Точка E является серединой стороны PQ. Это означает, что $\vec{QE} = \frac{1}{2}\vec{QP}$.

Для нахождения вектора $\vec{KE}$ выберем путь K → Q → E:

$\vec{KE} = \vec{KQ} + \vec{QE}$

Найдем векторы $\vec{KQ}$ и $\vec{QE}$. Из соотношения $QK=5KR$ следует, что $\vec{QK} = \frac{5}{6}\vec{QR} = \frac{5}{6}(-\vec{m}) = -\frac{5}{6}\vec{m}$. Тогда:

$\vec{KQ} = -\vec{QK} = -(-\frac{5}{6}\vec{m}) = \frac{5}{6}\vec{m}$

Вектор $\vec{QP}$ противоположен вектору $\vec{PQ}$:

$\vec{QP} = -\vec{PQ} = -\vec{n}$

Следовательно, $\vec{QE} = \frac{1}{2}\vec{QP} = \frac{1}{2}(-\vec{n}) = -\frac{1}{2}\vec{n}$.

Подставим найденные векторы в выражение для $\vec{KE}$:

$\vec{KE} = \frac{5}{6}\vec{m} - \frac{1}{2}\vec{n}$

Ответ: $\vec{KE} = \frac{5}{6}\vec{m} - \frac{1}{2}\vec{n}$.