Номер 1.65, страница 34 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.65. Точки A, B и C расположены на прямой так, что $\vec{BC} = \frac{1}{2}\vec{AB}$. Покажите, что для произвольной точки O верно равенство $\vec{OB} = \frac{1}{3}\vec{OA} + \frac{2}{3}\vec{OC}$.

По условию задачи точки A, B и C расположены на одной прямой так, что выполняется векторное равенство $ \vec{BC} = \frac{1}{2}\vec{AB} $.

Для доказательства искомого равенства воспользуемся правилом разности векторов, согласно которому для произвольной точки O и любых двух точек X и Y справедливо равенство: $ \vec{XY} = \vec{OY} - \vec{OX} $. Применив это правило к векторам $ \vec{BC} $ и $ \vec{AB} $, получим $ \vec{BC} = \vec{OC} - \vec{OB} $ и $ \vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} $.

Подставим эти выражения в исходное равенство, данное в условии: $ \vec{OC} - \vec{OB} = \frac{1}{2}(\vec{OB} - \vec{OA}) $.

Теперь выполним алгебраические преобразования, чтобы выразить вектор $ \vec{OB} $. Сначала умножим обе части равенства на 2: $ 2(\vec{OC} - \vec{OB}) = \vec{OB} - \vec{OA} $. Раскрыв скобки, имеем $ 2\vec{OC} - 2\vec{OB} = \vec{OB} - \vec{OA} $.

Далее перегруппируем члены уравнения так, чтобы слагаемые с вектором $ \vec{OB} $ оказались в одной части, а остальные — в другой: $ \vec{OA} + 2\vec{OC} = \vec{OB} + 2\vec{OB} $. Упростив правую часть, получим $ \vec{OA} + 2\vec{OC} = 3\vec{OB} $.

Наконец, разделим обе части на 3, чтобы получить выражение для $ \vec{OB} $: $ \vec{OB} = \frac{\vec{OA} + 2\vec{OC}}{3} $. Это равенство можно переписать в требуемом виде: $ \vec{OB} = \frac{1}{3}\vec{OA} + \frac{2}{3}\vec{OC} $. Таким образом, искомое равенство доказано.

Ответ: Равенство $ \vec{OB} = \frac{1}{3}\vec{OA} + \frac{2}{3}\vec{OC} $ доказано.