Номер 1.67, страница 40 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.67. Что можно сказать об угле $\widehat{(\vec{a}, \vec{b})}$, если скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$:

1) положительное;

2) равно нулю;

3) отрицательное?

Скалярное произведение двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ определяется формулой: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\widehat{\vec{a}, \vec{b}})$, где $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — длины (модули) векторов, а $(\widehat{\vec{a}, \vec{b}})$ — угол между ними. Будем считать, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ ненулевые, так как иначе угол между ними не определён. В этом случае их длины $|\vec{a}| > 0$ и $|\vec{b}| > 0$. Следовательно, знак скалярного произведения зависит только от знака косинуса угла между векторами. Угол между векторами по определению находится в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$ (или от $0$ до $\pi$ радиан).

1) Если скалярное произведение положительное, то $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$. Так как $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\widehat{\vec{a}, \vec{b}})$ и произведение модулей $|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| > 0$, то из этого следует, что $\cos(\widehat{\vec{a}, \vec{b}}) > 0$. Косинус положителен для углов в диапазоне от $0^\circ$ до $90^\circ$. Таким образом, угол между векторами является острым. Ответ: Угол острый, то есть $(\widehat{\vec{a}, \vec{b}}) \in [0, \pi/2)$.

2) Если скалярное произведение равно нулю, то $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. Так как $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\widehat{\vec{a}, \vec{b}})$ и мы предполагаем, что векторы ненулевые ($|\vec{a}| > 0$ и $|\vec{b}| > 0$), то из этого следует, что $\cos(\widehat{\vec{a}, \vec{b}}) = 0$. Косинус равен нулю, когда угол равен $90^\circ$. Таким образом, угол между векторами является прямым, а сами векторы — ортогональными (перпендикулярными). Ответ: Угол прямой, то есть $(\widehat{\vec{a}, \vec{b}}) = \pi/2$ (или $90^\circ$).

3) Если скалярное произведение отрицательное, то $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$. Так как $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\widehat{\vec{a}, \vec{b}})$ и $|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| > 0$, то из этого следует, что $\cos(\widehat{\vec{a}, \vec{b}}) < 0$. Косинус отрицателен для углов в диапазоне от $90^\circ$ до $180^\circ$. Таким образом, угол между векторами является тупым. Ответ: Угол тупой, то есть $(\widehat{\vec{a}, \vec{b}}) \in (\pi/2, \pi]$.