Номер 1.72, страница 41 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.72. Дан равносторонний треугольник ABC, сторона которого равна единице. Вычислите:

1) $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$;

2) $\vec{AB} \cdot \vec{BC}$;

3) $(\vec{AB} + \vec{AC}) \cdot (\vec{AB} - \vec{BC})$;

4) $(\vec{AB} + \vec{AC}) \cdot \vec{BC}$.

Дан равносторонний треугольник ABC со стороной, равной единице. Это означает, что длины векторов, совпадающих со сторонами треугольника, равны 1: $|\vec{AB}| = |\vec{BC}| = |\vec{CA}| = 1$. Все углы в равностороннем треугольнике равны $60^\circ$.

Скалярное произведение двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ определяется формулой $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\theta)$, где $\theta$ — угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$, когда они отложены от одной точки.

1) $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$

Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ исходят из одной вершины A. Угол между ними равен углу $\angle BAC$, который составляет $60^\circ$.

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos(60^\circ) = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

2) $\vec{AB} \cdot \vec{BC}$

Чтобы найти угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$, нужно отложить их от одной точки. Если мы перенесём вектор $\vec{BC}$ так, чтобы его начало совпадало с точкой A, то угол между вектором $\vec{AB}$ и перенесённым вектором будет равен $120^\circ$ (внешний угол при вершине B).

$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{BC}| \cdot \cos(120^\circ) = 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2}$.

Другой способ — использовать правило разности векторов: $\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}$.

$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = \vec{AB} \cdot (\vec{AC} - \vec{AB}) = \vec{AB} \cdot \vec{AC} - \vec{AB} \cdot \vec{AB} = \vec{AB} \cdot \vec{AC} - |\vec{AB}|^2$.

Подставляя результат из пункта 1, получаем: $\frac{1}{2} - 1^2 = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{2}$.

3) $(\vec{AB} + \vec{AC}) \cdot (\vec{AB} - \vec{BC})$

Для вычисления этого выражения раскроем скобки, используя дистрибутивность скалярного произведения:

$(\vec{AB} + \vec{AC}) \cdot (\vec{AB} - \vec{BC}) = \vec{AB} \cdot \vec{AB} - \vec{AB} \cdot \vec{BC} + \vec{AC} \cdot \vec{AB} - \vec{AC} \cdot \vec{BC}$.

Нам известны значения: $\vec{AB} \cdot \vec{AB} = |\vec{AB}|^2 = 1^2 = 1$; $\vec{AB} \cdot \vec{BC} = -1/2$; $\vec{AC} \cdot \vec{AB} = \vec{AB} \cdot \vec{AC} = 1/2$.

Осталось найти $\vec{AC} \cdot \vec{BC}$. Векторы $\vec{AC}$ и $\vec{BC}$ оба направлены к вершине C. Угол между ними равен углу $\angle C = 60^\circ$.

$\vec{AC} \cdot \vec{BC} = |\vec{AC}| \cdot |\vec{BC}| \cdot \cos(60^\circ) = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Теперь подставим все найденные значения в исходное выражение:

$1 - (-\frac{1}{2}) + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

Ответ: $\frac{3}{2}$.

4) $(\vec{AB} + \vec{AC}) \cdot \vec{BC}$

Раскроем скобки: $(\vec{AB} + \vec{AC}) \cdot \vec{BC} = \vec{AB} \cdot \vec{BC} + \vec{AC} \cdot \vec{BC}$.

Используем значения, вычисленные в предыдущих пунктах:

$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = -\frac{1}{2}$ (из пункта 2).

$\vec{AC} \cdot \vec{BC} = \frac{1}{2}$ (из пункта 3).

Суммируя эти значения, получаем: $-\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0$.

Геометрически, сумма векторов $\vec{AB} + \vec{AC}$ представляет собой вектор-диагональ параллелограмма (в данном случае ромба), построенного на этих векторах. Эта диагональ лежит на биссектрисе угла $\angle BAC$. В равностороннем треугольнике биссектриса является также и высотой, то есть она перпендикулярна стороне BC. Скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю.

Ответ: $0$.