Номер 1.70, страница 40 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.70. Заполните таблицу:

Для заполнения таблицы будем использовать формулу скалярного произведения векторов: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\vec{a}, \vec{b})$, где $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — модули векторов, а $\cos(\vec{a}, \vec{b})$ — косинус угла между ними. Из этой формулы можно выразить любую из неизвестных величин.

Столбец 1

Дано: $|\vec{a}| = 5$, $|\vec{b}| = 4$, $\cos(\vec{a}, \vec{b}) = 0,6$.

Найти: $\vec{a} \cdot \vec{b}$.

Решение: Используем основную формулу скалярного произведения.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 5 \cdot 4 \cdot 0,6 = 20 \cdot 0,6 = 12$.

Ответ: 12

Столбец 2

Дано: $|\vec{a}| = \sqrt{3}$, $|\vec{b}| = 2$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$.

Найти: $\cos(\vec{a}, \vec{b})$.

Решение: Выразим косинус угла из формулы скалярного произведения: $\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$.

$\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{3}{\sqrt{3} \cdot 2} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Столбец 3

Дано: $|\vec{a}| = 0,5$, $\cos(\vec{a}, \vec{b}) = 0,8$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = 4$.

Найти: $|\vec{b}|$.

Решение: Выразим модуль вектора $\vec{b}$ из формулы: $|\vec{b}| = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cos(\vec{a}, \vec{b})}$.

$|\vec{b}| = \frac{4}{0,5 \cdot 0,8} = \frac{4}{0,4} = 10$.

Ответ: 10

Столбец 4

Дано: $|\vec{b}| = 2$, $\cos(\vec{a}, \vec{b}) = 0,5$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = 5$.

Найти: $|\vec{a}|$.

Решение: Выразим модуль вектора $\vec{a}$ из формулы: $|\vec{a}| = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}| \cos(\vec{a}, \vec{b})}$.

$|\vec{a}| = \frac{5}{2 \cdot 0,5} = \frac{5}{1} = 5$.

Ответ: 5

Столбец 5

Дано: $|\vec{a}| = a$, $|\vec{b}| = b$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0,5ab$.

Найти: $\cos(\vec{a}, \vec{b})$.

Решение: Используем формулу для косинуса угла: $\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$.

$\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{0,5ab}{a \cdot b}$. Поскольку $a$ и $b$ — это модули векторов (положительные числа), мы можем сократить дробь на $ab$.

$\cos(\vec{a}, \vec{b}) = 0,5$.

Ответ: 0,5

Итоговая заполненная таблица: