Номер 1.68, страница 40 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.68. Найдите скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$, если $|\vec{a}|=4$, $|\vec{b}|=\sqrt{3}$ и угол $\widehat{(\vec{a},\vec{b})}$ равен:

1) $30^\circ$;

2) $45^\circ$;

3) $90^\circ$;

4) $150^\circ$.

Для нахождения скалярного произведения двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ используется формула, основанная на их модулях и угле между ними: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$, где $\alpha$ — это угол $(\widehat{\vec{a}, \vec{b}})$.

По условию задачи нам даны модули векторов: $|\vec{a}|=4$ и $|\vec{b}|=\sqrt{3}$. Подставим эти значения и значения углов из каждого пункта в формулу.

1) Если угол $(\widehat{\vec{a}, \vec{b}})$ равен $30^{\circ}$, то косинус этого угла равен $\cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot \sqrt{3} \cdot \cos(30^{\circ}) = 4 \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 \cdot \frac{3}{2} = 6$.
Ответ: 6

2) Если угол $(\widehat{\vec{a}, \vec{b}})$ равен $45^{\circ}$, то косинус этого угла равен $\cos(45^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot \sqrt{3} \cdot \cos(45^{\circ}) = 4 \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{6}$.
Ответ: $2\sqrt{6}$

3) Если угол $(\widehat{\vec{a}, \vec{b}})$ равен $90^{\circ}$, то косинус этого угла равен $\cos(90^{\circ}) = 0$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot \sqrt{3} \cdot \cos(90^{\circ}) = 4 \cdot \sqrt{3} \cdot 0 = 0$.
Ответ: 0

4) Если угол $(\widehat{\vec{a}, \vec{b}})$ равен $150^{\circ}$, то косинус этого угла равен $\cos(150^{\circ}) = \cos(180^{\circ} - 30^{\circ}) = -\cos(30^{\circ}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot \sqrt{3} \cdot \cos(150^{\circ}) = 4 \cdot \sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -4 \cdot \frac{3}{2} = -6$.
Ответ: -6