Номер 1.63, страница 34 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.63. Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен основаниям и равен полуразности этих оснований.

Пусть дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC ($AD \parallel BC$). Пусть M – середина диагонали AC, а N – середина диагонали BD. Требуется доказать, что отрезок MN параллелен основаниям и его длина равна их полуразности.

Для доказательства используем метод средних линий треугольников.

1. Доказательство параллельности отрезка MN основаниям трапеции

Рассмотрим боковую сторону AB и отметим на ней середину – точку K.

Теперь рассмотрим треугольник $ \triangle ABC $. Отрезок KM соединяет середины сторон AB и AC. Следовательно, KM является средней линией треугольника $ \triangle ABC $. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне, то есть $ KM \parallel BC $.

Аналогично рассмотрим треугольник $ \triangle ABD $. Отрезок KN соединяет середины сторон AB и BD. Следовательно, KN является средней линией треугольника $ \triangle ABD $. По свойству средней линии, $ KN \parallel AD $.

По определению трапеции, ее основания параллельны друг другу: $ AD \parallel BC $.

Мы получили, что $ KM \parallel BC $ и $ KN \parallel AD $. Так как $ AD \parallel BC $, то по свойству транзитивности параллельных прямых, $ KM \parallel AD $.

Таким образом, через точку K проходят два отрезка (KM и KN), которые параллельны одной и той же прямой AD. Согласно аксиоме параллельности Евклида, через точку, не лежащую на данной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной. Это означает, что отрезки KM и KN лежат на одной прямой. Следовательно, точки K, M и N коллинеарны (лежат на одной прямой).

Поскольку прямая, содержащая эти точки, параллельна AD и BC, то и отрезок MN, являющийся ее частью, также параллелен основаниям трапеции.

2. Нахождение длины отрезка MN

По свойству средней линии треугольника, ее длина равна половине длины стороны, которой она параллельна.

Для $ \triangle ABC $: $ KM = \frac{1}{2}BC $.

Для $ \triangle ABD $: $ KN = \frac{1}{2}AD $.

Так как точки K, M, N лежат на одной прямой, длина отрезка MN равна разности длин отрезков KN и KM. Предположим, что $ AD > BC $, тогда точка M лежит между K и N.

Длина отрезка MN вычисляется как:

$ MN = KN - KM = \frac{1}{2}AD - \frac{1}{2}BC = \frac{AD - BC}{2} $.

Если $ BC > AD $, то $ MN = KM - KN = \frac{1}{2}BC - \frac{1}{2}AD = \frac{BC - AD}{2} $. В общем виде, длина равна $ \frac{|AD - BC|}{2} $.

Таким образом, утверждение полностью доказано.

Ответ: Мы доказали, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен ее основаниям ($ MN \parallel AD \parallel BC $) и его длина равна полуразности длин этих оснований ($ MN = \frac{|AD - BC|}{2} $). Что и требовалось доказать.