Номер 1.59, страница 34 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.59. Выбрана точка H на стороне BC параллелограмма ABCD так, что выполняется соотношение $BH : HC = 1 : 4$. Выразите векторы $\vec{AH}$, $\vec{HD}$ через $\vec{AB}=\vec{a}$ и $\vec{AD}=\vec{b}$.

По условию задачи дан параллелограмм $ABCD$. На стороне $BC$ выбрана точка $H$ таким образом, что отношение отрезков $BH : HC = 1 : 4$. Введены базисные векторы $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{AD} = \vec{b}$. Необходимо выразить векторы $\vec{AH}$ и $\vec{HD}$ через векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Для наглядности решения построим чертеж.

Выражение вектора $\vec{AH}$
Вектор $\vec{AH}$ можно представить как сумму векторов по правилу треугольника, пройдя из точки A в точку B, а затем в точку H: $\vec{AH} = \vec{AB} + \vec{BH}$.
По условию задачи, нам дан вектор $\vec{AB} = \vec{a}$.
Теперь найдем вектор $\vec{BH}$. Точка H лежит на стороне BC и делит ее в отношении $BH : HC = 1 : 4$. Это означает, что длина отрезка BH составляет $\frac{1}{1+4} = \frac{1}{5}$ от длины всей стороны BC. Так как точка H находится между B и C, вектор $\vec{BH}$ сонаправлен вектору $\vec{BC}$. Следовательно, мы можем записать: $\vec{BH} = \frac{1}{5} \vec{BC}$.
В параллелограмме противолежащие стороны параллельны и равны, поэтому векторы, их представляющие, равны: $\vec{BC} = \vec{AD}$.
Из условия мы знаем, что $\vec{AD} = \vec{b}$. Значит, $\vec{BC} = \vec{b}$.
Подставляя это в выражение для $\vec{BH}$, получаем: $\vec{BH} = \frac{1}{5} \vec{b}$.
Теперь мы можем собрать все вместе для нахождения вектора $\vec{AH}$:
$\vec{AH} = \vec{AB} + \vec{BH} = \vec{a} + \frac{1}{5} \vec{b}$.

Ответ: $\vec{AH} = \vec{a} + \frac{1}{5}\vec{b}$.

Выражение вектора $\vec{HD}$
Для нахождения вектора $\vec{HD}$ можно использовать правило разности векторов, выходящих из одной точки (например, A): $\vec{HD} = \vec{AD} - \vec{AH}$.
Вектор $\vec{AD}$ нам дан по условию: $\vec{AD} = \vec{b}$.
Вектор $\vec{AH}$ мы уже нашли в предыдущем пункте: $\vec{AH} = \vec{a} + \frac{1}{5}\vec{b}$.
Подставим известные векторы в формулу:
$\vec{HD} = \vec{b} - \left(\vec{a} + \frac{1}{5}\vec{b}\right) = \vec{b} - \vec{a} - \frac{1}{5}\vec{b}$.
Сгруппируем слагаемые с вектором $\vec{b}$:
$\vec{HD} = \left(1 - \frac{1}{5}\right)\vec{b} - \vec{a} = \frac{4}{5}\vec{b} - \vec{a}$.

Проверка другим способом:
Выразим $\vec{HD}$ по правилу многоугольника через путь H-C-D: $\vec{HD} = \vec{HC} + \vec{CD}$.
Из соотношения $BH : HC = 1 : 4$ следует, что $\vec{HC} = \frac{4}{5}\vec{BC} = \frac{4}{5}\vec{AD} = \frac{4}{5}\vec{b}$.
В параллелограмме $\vec{CD} = \vec{BA} = -\vec{AB} = -\vec{a}$.
Следовательно, $\vec{HD} = \frac{4}{5}\vec{b} + (-\vec{a}) = \frac{4}{5}\vec{b} - \vec{a}$.
Результаты совпадают.

Ответ: $\vec{HD} = \frac{4}{5}\vec{b} - \vec{a}$.