Номер 1.58, страница 34 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.58. Точка $O$ — середина медианы $AD$ треугольника $ABC$.

Выразите вектор $\vec{AO}$ через векторы $\vec{a} = \vec{BA}$ и $\vec{b} = \vec{BC}$.

Для решения данной задачи воспользуемся правилами действий с векторами и определениями медианы и середины отрезка.

Дано, что $AD$ — медиана треугольника $ABC$. По определению медианы, точка $D$ является серединой стороны $BC$. Следовательно, вектор $\vec{BD}$ равен половине вектора $\vec{BC}$:$\vec{BD} = \frac{1}{2}\vec{BC}$

Также по условию, точка $O$ — середина медианы $AD$. Это означает, что вектор $\vec{AO}$ равен половине вектора $\vec{AD}$:$\vec{AO} = \frac{1}{2}\vec{AD}$

Чтобы найти вектор $\vec{AO}$, нам сперва нужно выразить вектор $\vec{AD}$ через заданные векторы $\vec{a} = \vec{BA}$ и $\vec{b} = \vec{BC}$. Для этого воспользуемся правилом треугольника для сложения векторов, применив его к ломаной $ABD$:$\vec{AD} = \vec{AB} + \vec{BD}$

Теперь выразим векторы $\vec{AB}$ и $\vec{BD}$ через $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

1. Вектор $\vec{AB}$ является противоположным вектору $\vec{BA}$. Таким образом:$\vec{AB} = -\vec{BA} = -\vec{a}$

2. Вектор $\vec{BD}$ составляет половину вектора $\vec{BC}$:$\vec{BD} = \frac{1}{2}\vec{BC} = \frac{1}{2}\vec{b}$

Теперь подставим полученные выражения для векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BD}$ в формулу для вектора $\vec{AD}$:$\vec{AD} = (-\vec{a}) + \frac{1}{2}\vec{b} = -\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$

Наконец, найдем искомый вектор $\vec{AO}$, подставив в его выражение найденное выражение для $\vec{AD}$:$\vec{AO} = \frac{1}{2}\vec{AD} = \frac{1}{2}\left(-\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}\right)$

Раскроем скобки и получим окончательный ответ:$\vec{AO} = -\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b}$

Геометрическая иллюстрация задачи:

Ответ: $\vec{AO} = -\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b}$