Номер 1.61, страница 34 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.61. Точки P и O — середины диагоналей AC и BD в четырехугольнике ABCD. Докажите, что $\vec{PO} = \frac{1}{2}(\vec{AD} + \vec{CB})$.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся векторным методом. Пусть $A$, $B$, $C$, $D$ — вершины четырехугольника, а $P$ и $O$ — середины диагоналей $AC$ и $BD$ соответственно.

Рассмотрим произвольный четырехугольник $ABCD$ и векторы, участвующие в задаче.

Доказательство:

Выразим вектор $\vec{PO}$ двумя различными способами, используя правило сложения векторов (правило многоугольника):

1. Через вершины $A$ и $D$: $\vec{PO} = \vec{PA} + \vec{AD} + \vec{DO}$

2. Через вершины $C$ и $B$: $\vec{PO} = \vec{PC} + \vec{CB} + \vec{BO}$

Сложим левые и правые части этих двух векторных равенств:

$\vec{PO} + \vec{PO} = (\vec{PA} + \vec{AD} + \vec{DO}) + (\vec{PC} + \vec{CB} + \vec{BO})$

Сгруппируем слагаемые в правой части:

$2\vec{PO} = (\vec{AD} + \vec{CB}) + (\vec{PA} + \vec{PC}) + (\vec{DO} + \vec{BO})$

Рассмотрим суммы векторов в скобках. По определению середины отрезка:

Поскольку точка $P$ — середина диагонали $AC$, векторы $\vec{PA}$ и $\vec{PC}$ равны по длине и противоположны по направлению. Следовательно, их сумма равна нулевому вектору:

$\vec{PA} + \vec{PC} = \vec{0}$

Аналогично, поскольку точка $O$ — середина диагонали $BD$, векторы $\vec{OB}$ и $\vec{OD}$ также в сумме дают нулевой вектор. В нашем выражении стоит сумма $\vec{DO} + \vec{BO}$. Так как $\vec{DO} = -\vec{OD}$ и $\vec{BO} = -\vec{OB}$, получаем:

$\vec{DO} + \vec{BO} = -\vec{OD} - \vec{OB} = -(\vec{OD} + \vec{OB}) = \vec{0}$

Подставим полученные результаты (нулевые векторы) обратно в сгруппированное уравнение:

$2\vec{PO} = (\vec{AD} + \vec{CB}) + \vec{0} + \vec{0}$

$2\vec{PO} = \vec{AD} + \vec{CB}$

Разделив обе части равенства на 2, получим то, что требовалось доказать:

$\vec{PO} = \frac{1}{2}(\vec{AD} + \vec{CB})$

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Равенство $\vec{PO} = \frac{1}{2}(\vec{AD} + \vec{CB})$ доказано с помощью векторного сложения.