Номер 1.66, страница 40 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.66. Какой знак имеет скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$, если

угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$: 1) острый; 2) тупой?

Скалярное произведение двух ненулевых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ вычисляется по формуле: $ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha) $, где $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — это длины (модули) векторов, а $\alpha$ — угол между ними.

Длины векторов $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ всегда являются положительными величинами. Таким образом, знак скалярного произведения полностью определяется знаком косинуса угла $\cos(\alpha)$ между векторами.

1) острый

Если угол $\alpha$ между векторами является острым, то его значение находится в диапазоне $0^\circ \le \alpha < 90^\circ$.

Для любого острого угла $\alpha$ его косинус положителен: $\cos(\alpha) > 0$. Следовательно, произведение $ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha) $ будет положительным, так как все три множителя положительны.
Ответ: если угол между векторами острый, скалярное произведение имеет положительный знак.

2) тупой

Если угол $\alpha$ между векторами является тупым, то его значение находится в диапазоне $90^\circ < \alpha \le 180^\circ$.

Для любого тупого угла $\alpha$ его косинус отрицателен: $\cos(\alpha) < 0$. Следовательно, произведение $ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha) $ будет отрицательным, так как является произведением двух положительных чисел на одно отрицательное.
Ответ: если угол между векторами тупой, скалярное произведение имеет отрицательный знак.