Номер 1.71, страница 41 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.71. Дан квадрат ABCD, сторона которого равна единице. Вычислите:

1) $ \vec{AB} \cdot \vec{CB} $;

2) $ \vec{AB} \cdot \vec{CD} $;

3) $ \vec{AD} \cdot \vec{BC} $;

4) $ \vec{AB} \cdot \vec{AC} $;

5) $ \vec{BD} \cdot \vec{DC} $;

6) $ \vec{AC} \cdot \vec{BD} $;

7) $ \vec{AC} \cdot \vec{CD} $;

8) $ (\vec{AB} + \vec{AD}) \cdot (\vec{CD} - \vec{CB}) $.

Дан квадрат ABCD со стороной, равной 1. Для решения задачи введем ортогональный базис, векторы которого сонаправлены сторонам квадрата, исходящим из вершины A. Пусть $\vec{i} = \vec{AB}$ и $\vec{j} = \vec{AD}$.

Поскольку ABCD - квадрат со стороной 1, то векторы $\vec{i}$ и $\vec{j}$ перпендикулярны, а их длины равны единице. Таким образом, мы имеем следующие свойства для скалярного произведения базисных векторов:

$|\vec{i}|^2 = \vec{i} \cdot \vec{i} = 1$

$|\vec{j}|^2 = \vec{j} \cdot \vec{j} = 1$

$\vec{i} \cdot \vec{j} = 0$

Визуализация квадрата:

Выразим все необходимые векторы через базис $\vec{i}$ и $\vec{j}$:

$\vec{AB} = \vec{i}$

$\vec{AD} = \vec{j}$

$\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{j}$ (противоположные стороны квадрата)

$\vec{CD} = -\vec{AB} = -\vec{i}$ (противоположные стороны квадрата, противоположное направление)

$\vec{CB} = -\vec{BC} = -\vec{j}$

$\vec{DC} = -\vec{CD} = \vec{i}$

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{i} + \vec{j}$ (диагональ по правилу параллелограмма)

$\vec{BD} = \vec{BA} + \vec{AD} = -\vec{AB} + \vec{AD} = -\vec{i} + \vec{j}$ (диагональ по правилу треугольника)

Теперь вычислим каждое скалярное произведение.

1) $\vec{AB} \cdot \vec{CB}$
Подставляем выражения через базис: $\vec{AB} = \vec{i}$ и $\vec{CB} = -\vec{j}$.
$\vec{AB} \cdot \vec{CB} = \vec{i} \cdot (-\vec{j}) = -(\vec{i} \cdot \vec{j}) = 0$, так как базисные векторы перпендикулярны.
Ответ: $0$.

2) $\vec{AB} \cdot \vec{CD}$
Подставляем выражения: $\vec{AB} = \vec{i}$ и $\vec{CD} = -\vec{i}$.
$\vec{AB} \cdot \vec{CD} = \vec{i} \cdot (-\vec{i}) = -(\vec{i} \cdot \vec{i}) = -|\vec{i}|^2 = -1$.
Ответ: $-1$.

3) $\vec{AD} \cdot \vec{BC}$
Подставляем выражения: $\vec{AD} = \vec{j}$ и $\vec{BC} = \vec{j}$.
$\vec{AD} \cdot \vec{BC} = \vec{j} \cdot \vec{j} = |\vec{j}|^2 = 1$.
Ответ: $1$.

4) $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$
Подставляем выражения: $\vec{AB} = \vec{i}$ и $\vec{AC} = \vec{i} + \vec{j}$.
$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \vec{i} \cdot (\vec{i} + \vec{j}) = \vec{i} \cdot \vec{i} + \vec{i} \cdot \vec{j} = |\vec{i}|^2 + 0 = 1$.
Ответ: $1$.

5) $\vec{BD} \cdot \vec{DC}$
Подставляем выражения: $\vec{BD} = -\vec{i} + \vec{j}$ и $\vec{DC} = \vec{i}$.
$\vec{BD} \cdot \vec{DC} = (-\vec{i} + \vec{j}) \cdot \vec{i} = -(\vec{i} \cdot \vec{i}) + (\vec{j} \cdot \vec{i}) = -|\vec{i}|^2 + 0 = -1$.
Ответ: $-1$.

6) $\vec{AC} \cdot \vec{BD}$
Подставляем выражения для диагоналей: $\vec{AC} = \vec{i} + \vec{j}$ и $\vec{BD} = -\vec{i} + \vec{j}$.
$\vec{AC} \cdot \vec{BD} = (\vec{i} + \vec{j}) \cdot (-\vec{i} + \vec{j}) = -(\vec{i} \cdot \vec{i}) + (\vec{i} \cdot \vec{j}) - (\vec{j} \cdot \vec{i}) + (\vec{j} \cdot \vec{j}) = -|\vec{i}|^2 + 0 - 0 + |\vec{j}|^2 = -1 + 1 = 0$.
Это известный факт, что диагонали квадрата перпендикулярны.
Ответ: $0$.

7) $\vec{AC} \cdot \vec{CD}$
Подставляем выражения: $\vec{AC} = \vec{i} + \vec{j}$ и $\vec{CD} = -\vec{i}$.
$\vec{AC} \cdot \vec{CD} = (\vec{i} + \vec{j}) \cdot (-\vec{i}) = -(\vec{i} \cdot \vec{i}) - (\vec{j} \cdot \vec{i}) = -|\vec{i}|^2 - 0 = -1$.
Ответ: $-1$.

8) $(\vec{AB} + \vec{AD}) \cdot (\vec{CD} - \vec{CB})$
Сначала упростим выражения в скобках.
$\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC} = \vec{i} + \vec{j}$.
$\vec{CD} - \vec{CB} = (-\vec{i}) - (-\vec{j}) = -\vec{i} + \vec{j} = \vec{BD}$.
Таким образом, искомое скалярное произведение равно $\vec{AC} \cdot \vec{BD}$.
Как мы уже вычислили в пункте 6), $\vec{AC} \cdot \vec{BD} = 0$.
Ответ: $0$.