Номер 1.75, страница 41 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.75. Докажите тождества:

1) $(\vec{a}+\vec{b})^2+(\vec{a}-\vec{b})^2=2(\vec{a}^2+\vec{b}^2);$

2) $(\vec{a}+\vec{b})^2-(\vec{a}-\vec{b})^2=4\vec{a}\vec{b};$

3) $(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})^2=\vec{a}^2+\vec{b}^2+\vec{c}^2+2\vec{a}\cdot\vec{b}+2\vec{a}\cdot\vec{c}+2\vec{b}\cdot\vec{c}.$

1) Для доказательства преобразуем левую часть тождества, используя свойство скалярного квадрата $(\vec{x} \pm \vec{y})^2 = \vec{x}^2 \pm 2(\vec{x} \cdot \vec{y}) + \vec{y}^2$. Раскроем скобки в выражении $(\vec{a} + \vec{b})^2 + (\vec{a} - \vec{b})^2$. Получаем $(\vec{a}^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b}^2) + (\vec{a}^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b}^2)$. После приведения подобных членов ($2\vec{a} \cdot \vec{b}$ и $-2\vec{a} \cdot \vec{b}$ сокращаются) выражение упрощается до $\vec{a}^2 + \vec{a}^2 + \vec{b}^2 + \vec{b}^2 = 2\vec{a}^2 + 2\vec{b}^2$. Вынеся общий множитель 2 за скобки, получаем $2(\vec{a}^2 + \vec{b}^2)$, что и является правой частью исходного тождества. Таким образом, тождество доказано. Ответ: Тождество доказано.

2) Аналогично предыдущему пункту, преобразуем левую часть $(\vec{a} + \vec{b})^2 - (\vec{a} - \vec{b})^2$. Используем те же формулы для квадрата суммы и разности векторов: $(\vec{a}^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b}^2) - (\vec{a}^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b}^2)$. Раскрываем скобки, обращая внимание на знак минус: $\vec{a}^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b}^2 - \vec{a}^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{b}^2$. После сокращения подобных членов ($\vec{a}^2$ и $-\vec{a}^2$, $\vec{b}^2$ и $-\vec{b}^2$) остается $2\vec{a} \cdot \vec{b} + 2\vec{a} \cdot \vec{b} = 4\vec{a} \cdot \vec{b}$. Это выражение совпадает с правой частью тождества (где скалярное произведение обозначено как $4\vec{a}\vec{b}$). Тождество доказано. Ответ: Тождество доказано.

3) Докажем тождество, преобразовав его левую часть. Скалярный квадрат суммы трех векторов $(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})^2$ равен скалярному произведению этой суммы на саму себя: $(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \cdot (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$. Используя дистрибутивность скалярного произведения, "перемножаем" каждый член первой скобки на каждый член второй: $\vec{a}\cdot\vec{a} + \vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{a}\cdot\vec{c} + \vec{b}\cdot\vec{a} + \vec{b}\cdot\vec{b} + \vec{b}\cdot\vec{c} + \vec{c}\cdot\vec{a} + \vec{c}\cdot\vec{b} + \vec{c}\cdot\vec{c}$. Учитывая, что $\vec{x} \cdot \vec{x} = \vec{x}^2$, и коммутативность скалярного произведения ($\vec{x} \cdot \vec{y} = \vec{y} \cdot \vec{x}$), группируем слагаемые: $\vec{a}^2 + \vec{b}^2 + \vec{c}^2 + (\vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{b}\cdot\vec{a}) + (\vec{a}\cdot\vec{c} + \vec{c}\cdot\vec{a}) + (\vec{b}\cdot\vec{c} + \vec{c}\cdot\vec{b})$. Это приводит к выражению $\vec{a}^2 + \vec{b}^2 + \vec{c}^2 + 2\vec{a}\cdot\vec{b} + 2\vec{a}\cdot\vec{c} + 2\vec{b}\cdot\vec{c}$, которое в точности совпадает с правой частью. Тождество доказано. Ответ: Тождество доказано.