Номер 1.80, страница 42 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.80. Если векторы $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} - \vec{b}$ перпендикулярны, то выполняется равенство $|\vec{a}|=|\vec{b}|$. Покажите это.

Данное утверждение можно доказать как алгебраически, используя свойства скалярного произведения, так и геометрически, рассмотрев параллелограмм, построенный на этих векторах.

Алгебраическое доказательство

Основным свойством перпендикулярных векторов является то, что их скалярное произведение равно нулю. По условию задачи, векторы $ \vec{a} + \vec{b} $ и $ \vec{a} - \vec{b} $ перпендикулярны. Запишем это в виде уравнения:

$ (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 0 $

Теперь раскроем скобки, используя дистрибутивное свойство скалярного произведения (правило умножения многочленов):

$ \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b} = 0 $

Мы знаем, что скалярное произведение коммутативно, то есть $ \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} $. Поэтому два средних члена в выражении взаимно уничтожаются: $ -\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} = 0 $.

Также известно, что скалярный квадрат вектора (скалярное произведение вектора на самого себя) равен квадрату его модуля (длины): $ \vec{v} \cdot \vec{v} = |\vec{v}|^2 $.

Применив эти свойства, мы упрощаем уравнение:

$ |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2 = 0 $

Перенесем $ |\vec{b}|^2 $ в правую часть:

$ |\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2 $

Поскольку модуль вектора — это его длина, он не может быть отрицательным. Следовательно, мы можем извлечь квадратный корень из обеих частей равенства, получив:

$ |\vec{a}| = |\vec{b}| $

Таким образом, мы доказали, что если векторы $ \vec{a} + \vec{b} $ и $ \vec{a} - \vec{b} $ перпендикулярны, то модули векторов $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ равны.

Геометрическая интерпретация

Рассмотрим векторы $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ как стороны параллелограмма, исходящие из одной вершины. В таком случае векторы $ \vec{a} + \vec{b} $ и $ \vec{a} - \vec{b} $ представляют собой диагонали этого параллелограмма.

Условие, что векторы $ \vec{a} + \vec{b} $ и $ \vec{a} - \vec{b} $ перпендикулярны, геометрически означает, что диагонали параллелограмма перпендикулярны.

Параллелограмм, у которого диагонали перпендикулярны, является ромбом. Главное свойство ромба заключается в том, что все его стороны равны. Поскольку стороны нашего параллелограмма — это векторы $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $, их длины (модули) должны быть одинаковы.

Следовательно, $ |\vec{a}| = |\vec{b}| $, что и требовалось показать.

Ответ: Утверждение доказано. Из условия перпендикулярности $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 0$ следует $|\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2 = 0$, что равносильно $|\vec{a}| = |\vec{b}|$.