Номер 1.86, страница 42 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.86. Найдите вектор $\vec{x}$, удовлетворяющий равенству если $\vec{a}\vec{x} = \vec{b}\vec{x} = \vec{c}\vec{x}$, $\vec{a} \nVdash \vec{b}$, $\vec{a} \nVdash \vec{c}$, $\vec{b} \nVdash \vec{c}$.

Пусть дано равенство $\vec{a}\vec{x} = \vec{b}\vec{x} = \vec{c}\vec{x}$. Это скалярное произведение векторов. Данное равенство эквивалентно системе двух уравнений:

1) $\vec{a}\vec{x} = \vec{b}\vec{x}$

2) $\vec{b}\vec{x} = \vec{c}\vec{x}$

Перенесём все члены в левую часть в каждом уравнении:

1) $\vec{a}\vec{x} - \vec{b}\vec{x} = 0$

2) $\vec{b}\vec{x} - \vec{c}\vec{x} = 0$

Используя дистрибутивное свойство скалярного произведения, вынесем вектор $\vec{x}$ за скобки:

1) $(\vec{a} - \vec{b})\vec{x} = 0$

2) $(\vec{b} - \vec{c})\vec{x} = 0$

Первое уравнение означает, что вектор $\vec{x}$ ортогонален (перпендикулярен) вектору $(\vec{a} - \vec{b})$.

Второе уравнение означает, что вектор $\vec{x}$ ортогонален вектору $(\vec{b} - \vec{c})$.

По условию векторы $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ попарно не коллинеарны, поэтому разности $(\vec{a} - \vec{b})$ и $(\vec{b} - \vec{c})$ не являются нулевыми векторами.

Если вектор $\vec{x}$ ортогонален двум неколлинеарным векторам, то он коллинеарен их векторному произведению. Таким образом, вектор $\vec{x}$ должен быть коллинеарен вектору $(\vec{a} - \vec{b}) \times (\vec{b} - \vec{c})$.

Запишем это в виде формулы:

$\vec{x} = \lambda [(\vec{a} - \vec{b}) \times (\vec{b} - \vec{c})]$, где $\lambda$ — произвольный скаляр (число).

Теперь раскроем скобки в векторном произведении, используя его свойства (дистрибутивность и антикоммутативность):

$(\vec{a} - \vec{b}) \times (\vec{b} - \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} - \vec{a} \times \vec{c} - \vec{b} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c}$

Мы знаем, что векторное произведение любого вектора на самого себя равно нулевому вектору ($\vec{b} \times \vec{b} = \vec{0}$) и что $\vec{u} \times \vec{v} = -\vec{v} \times \vec{u}$ (антикоммутативность), поэтому $-\vec{a} \times \vec{c} = \vec{c} \times \vec{a}$.

Подставляя эти свойства в выражение, получаем:

$\vec{a} \times \vec{b} + \vec{c} \times \vec{a} - \vec{0} + \vec{b} \times \vec{c} = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a}$

Таким образом, искомый вектор $\vec{x}$ коллинеарен вектору $\vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a}$.

Этот результирующий вектор не равен нулю, если векторы $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ не компланарны, или если они компланарны, но их концы не лежат на одной прямой (если отложить их от общего начала). Если же концы векторов $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ лежат на одной прямой, то векторное произведение равно нулю, и решением будет только тривиальный вектор $\vec{x} = \vec{0}$ (хотя в этом частном случае решением является любая линейная комбинация векторов, ортогональных этой прямой). В общем случае решение записывается через векторное произведение.

Решение:

Вектор $\vec{x}$ должен удовлетворять системе уравнений $(\vec{a} - \vec{b})\cdot\vec{x} = 0$ и $(\vec{b} - \vec{c})\cdot\vec{x} = 0$. Это означает, что $\vec{x}$ ортогонален как вектору $(\vec{a} - \vec{b})$, так и вектору $(\vec{b} - \vec{c})$. Следовательно, $\vec{x}$ должен быть коллинеарен их векторному произведению: $\vec{x} = \lambda [(\vec{a} - \vec{b}) \times (\vec{b} - \vec{c})]$ Раскрывая векторное произведение, получаем: $\vec{x} = \lambda (\vec{a} \times \vec{b} - \vec{a} \times \vec{c} - \vec{b} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c}) = \lambda (\vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a})$ где $\lambda$ — любое действительное число.

Ответ: $\vec{x} = \lambda (\vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a})$, где $\lambda \in \mathbb{R}$.