Номер 1.90, страница 43 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.90. Вне треугольника $ABC$ на его сторонах построены параллелограммы $ABB_1A_2$, $BCC_1B_2$ и $ACC_2A_1$. Покажите, что можно построить треугольник, стороны которого равны и параллельны отрезкам $A_1A_2$, $B_1B_2$, $C_1C_2$.

Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Пусть $A, B, C$ — вершины треугольника, а их положение на плоскости задано радиус-векторами $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ соответственно, проведенными из некоторого общего начала $O$. Положение любой другой точки $X$ будем обозначать ее радиус-вектором $\vec{x}$.

Условие, что четырехугольник $WXYZ$ является параллелограммом (с вершинами в указанном порядке), равносильно тому, что середины его диагоналей совпадают. В векторной форме это записывается как равенство сумм радиус-векторов противоположных вершин: $\vec{w} + \vec{y} = \vec{x} + \vec{z}$.

Применим это свойство к каждому из трех заданных параллелограммов:

1. Для параллелограмма $ABB_1A_2$ противоположными вершинами являются пары $(A, B_1)$ и $(B, A_2)$. Следовательно:
$\vec{a} + \vec{b_1} = \vec{b} + \vec{a_2}$ (1)

2. Для параллелограмма $BCC_1B_2$ противоположными вершинами являются пары $(B, C_1)$ и $(C, B_2)$. Следовательно:
$\vec{b} + \vec{c_1} = \vec{c} + \vec{b_2}$ (2)

3. Для параллелограмма $ACC_2A_1$ противоположными вершинами являются пары $(A, C_2)$ и $(C, A_1)$. Следовательно:
$\vec{a} + \vec{c_2} = \vec{c} + \vec{a_1}$ (3)

Нам нужно доказать, что из отрезков $A_1A_2, B_1B_2, C_1C_2$ можно составить треугольник. Это возможно, если сумма векторов, соответствующих этим отрезкам, равна нулевому вектору:
$\vec{A_1A_2} + \vec{B_1B_2} + \vec{C_1C_2} = \vec{0}$

Выразим эти векторы через радиус-векторы их конечных точек:
$\vec{A_1A_2} = \vec{a_2} - \vec{a_1}$
$\vec{B_1B_2} = \vec{b_2} - \vec{b_1}$
$\vec{C_1C_2} = \vec{c_2} - \vec{c_1}$

Теперь найдем их сумму:
$S = (\vec{a_2} - \vec{a_1}) + (\vec{b_2} - \vec{b_1}) + (\vec{c_2} - \vec{c_1})$

Из уравнений (1), (2) и (3) выразим векторы $\vec{a_2}$, $\vec{b_2}$ и $\vec{a_1}$:
$\vec{a_2} = \vec{a} + \vec{b_1} - \vec{b}$
$\vec{b_2} = \vec{b} + \vec{c_1} - \vec{c}$
$\vec{a_1} = \vec{a} + \vec{c_2} - \vec{c}$

Подставим эти выражения в векторы $\vec{A_1A_2}$ и $\vec{B_1B_2}$:
$\vec{A_1A_2} = \vec{a_2} - \vec{a_1} = (\vec{a} + \vec{b_1} - \vec{b}) - (\vec{a} + \vec{c_2} - \vec{c}) = \vec{b_1} - \vec{b} - \vec{c_2} + \vec{c}$
$\vec{B_1B_2} = \vec{b_2} - \vec{b_1} = (\vec{b} + \vec{c_1} - \vec{c}) - \vec{b_1} = \vec{b} + \vec{c_1} - \vec{c} - \vec{b_1}$
Вектор $\vec{C_1C_2}$ оставляем без изменений: $\vec{C_1C_2} = \vec{c_2} - \vec{c_1}$

Теперь сложим эти три вектора:
$S = \vec{A_1A_2} + \vec{B_1B_2} + \vec{C_1C_2} = (\vec{b_1} - \vec{b} - \vec{c_2} + \vec{c}) + (\vec{b} + \vec{c_1} - \vec{c} - \vec{b_1}) + (\vec{c_2} - \vec{c_1})$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми векторами:
$S = (\vec{b_1} - \vec{b_1}) + (-\vec{b} + \vec{b}) + (-\vec{c_2} + \vec{c_2}) + (\vec{c} - \vec{c}) + (\vec{c_1} - \vec{c_1})$
$S = \vec{0} + \vec{0} + \vec{0} + \vec{0} + \vec{0} = \vec{0}$

Поскольку сумма векторов $\vec{A_1A_2}$, $\vec{B_1B_2}$ и $\vec{C_1C_2}$ равна нулевому вектору, это означает, что если отложить эти векторы последовательно друг за другом, начало первого вектора совпадет с концом последнего. Таким образом, эти три отрезка образуют замкнутую фигуру — треугольник, стороны которого равны и параллельны отрезкам $A_1A_2, B_1B_2, C_1C_2$.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма векторов $\vec{A_1A_2} + \vec{B_1B_2} + \vec{C_1C_2}$ равна нулю, что является необходимым и достаточным условием для того, чтобы из отрезков, равных и параллельных данным, можно было построить треугольник.