Номер 1.94, страница 43 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.94. Докажите, что векторы $\vec{p} = \vec{a} (\vec{b} \cdot \vec{q}) - \vec{b} (\vec{a} \cdot \vec{q})$ и $\vec{q}$ перпендикулярны.

1.94. Для того чтобы доказать, что векторы $\vec{p}$ и $\vec{q}$ перпендикулярны, необходимо показать, что их скалярное произведение равно нулю. Два ненулевых вектора называются перпендикулярными (или ортогональными) тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно 0.

Итак, найдем скалярное произведение вектора $\vec{p} = \vec{a}(\vec{b} \cdot \vec{q}) - \vec{b}(\vec{a} \cdot \vec{q})$ на вектор $\vec{q}$.

$\vec{p} \cdot \vec{q} = (\vec{a}(\vec{b} \cdot \vec{q}) - \vec{b}(\vec{a} \cdot \vec{q})) \cdot \vec{q}$

Воспользуемся свойством дистрибутивности скалярного произведения относительно сложения векторов ($( \vec{x} + \vec{y} ) \cdot \vec{z} = \vec{x} \cdot \vec{z} + \vec{y} \cdot \vec{z}$):

$\vec{p} \cdot \vec{q} = (\vec{a}(\vec{b} \cdot \vec{q})) \cdot \vec{q} - (\vec{b}(\vec{a} \cdot \vec{q})) \cdot \vec{q}$

Важно отметить, что выражения в скобках $(\vec{b} \cdot \vec{q})$ и $(\vec{a} \cdot \vec{q})$ являются скалярными величинами (числами), так как они представляют собой результаты скалярного произведения. Обозначим их как $k_1 = (\vec{b} \cdot \vec{q})$ и $k_2 = (\vec{a} \cdot \vec{q})$. Тогда выражение можно переписать как:

$\vec{p} \cdot \vec{q} = (k_1\vec{a}) \cdot \vec{q} - (k_2\vec{b}) \cdot \vec{q}$

Используя свойство ассоциативности скалярного произведения по отношению к умножению на скаляр ($(k\vec{x}) \cdot \vec{y} = k(\vec{x} \cdot \vec{y})$), вынесем скалярные множители $k_1$ и $k_2$:

$\vec{p} \cdot \vec{q} = k_1(\vec{a} \cdot \vec{q}) - k_2(\vec{b} \cdot \vec{q})$

Теперь подставим обратно исходные выражения для $k_1$ и $k_2$:

$\vec{p} \cdot \vec{q} = (\vec{b} \cdot \vec{q})(\vec{a} \cdot \vec{q}) - (\vec{a} \cdot \vec{q})(\vec{b} \cdot \vec{q})$

Поскольку умножение действительных чисел (которыми являются результаты скалярных произведений) коммутативно, то есть $(\vec{b} \cdot \vec{q})(\vec{a} \cdot \vec{q}) = (\vec{a} \cdot \vec{q})(\vec{b} \cdot \vec{q})$, то мы получаем разность двух одинаковых величин:

$\vec{p} \cdot \vec{q} = 0$

Так как скалярное произведение векторов $\vec{p}$ и $\vec{q}$ равно нулю, это доказывает, что они перпендикулярны.

Ответ: Скалярное произведение векторов $\vec{p}$ и $\vec{q}$ равно $\vec{p} \cdot \vec{q} = (\vec{b} \cdot \vec{q})(\vec{a} \cdot \vec{q}) - (\vec{a} \cdot \vec{q})(\vec{b} \cdot \vec{q}) = 0$, следовательно, векторы перпендикулярны, что и требовалось доказать.