Номер 1.93, страница 43 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.93. Покажите, что для любого треугольника ABC верно равенство $c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma$ если $AB=c, AC=b, BC=a, \angle C=\gamma$. Докажите теорему Пифагора с помощью этого равенства.

Покажите, что для любого треугольника ABC верно равенство $c^2=a^2 + b^2-2ab\cos\gamma$ если $AB=c, AC=b, BC=a, \angle C=\gamma$.

Для доказательства этого равенства, которое является формулировкой теоремы косинусов, мы воспользуемся методом координат. Разместим треугольник $ABC$ в декартовой системе координат так, чтобы одна из его вершин совпала с началом координат, а одна из сторон легла на ось абсцисс.

Пусть вершина $C$ находится в начале координат $(0, 0)$, а сторона $AC$ длиной $b$ расположена вдоль положительного направления оси $Ox$. Тогда координаты вершин будут следующими:
• Вершина $C$ имеет координаты $(0, 0)$.
• Вершина $A$ имеет координаты $(b, 0)$.
• Координаты вершины $B$ определяются длиной стороны $BC=a$ и углом $\angle C = \gamma$. Из определений тригонометрических функций следует, что вершина $B$ имеет координаты $(a\cos\gamma, a\sin\gamma)$.

Теперь найдем квадрат длины стороны $AB$ (обозначенной как $c$) по формуле расстояния между двумя точками $A(x_A, y_A)$ и $B(x_B, y_B)$: $c^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2$.

Подставим координаты точек $A(b, 0)$ и $B(a\cos\gamma, a\sin\gamma)$ в формулу:

$c^2 = (a\cos\gamma - b)^2 + (a\sin\gamma - 0)^2$

Раскроем скобки:

$c^2 = a^2\cos^2\gamma - 2ab\cos\gamma + b^2 + a^2\sin^2\gamma$

Сгруппируем слагаемые, содержащие $a^2$:

$c^2 = (a^2\cos^2\gamma + a^2\sin^2\gamma) + b^2 - 2ab\cos\gamma$

Вынесем $a^2$ за скобки:

$c^2 = a^2(\cos^2\gamma + \sin^2\gamma) + b^2 - 2ab\cos\gamma$

Используя основное тригонометрическое тождество $\cos^2\gamma + \sin^2\gamma = 1$, получаем:

$c^2 = a^2(1) + b^2 - 2ab\cos\gamma$

Таким образом, мы приходим к искомому равенству:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma$

Равенство доказано для произвольного треугольника, так как данное доказательство не зависит от величины угла $\gamma$ (острый, прямой или тупой).

Ответ: Равенство $c^2=a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma$ доказано с помощью метода координат.

Докажите теорему Пифагора с помощью этого равенства.

Теорема Пифагора гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Мы можем доказать эту теорему, показав, что она является частным случаем теоремы косинусов.

Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором угол при вершине $C$ является прямым, то есть $\gamma = 90^\circ$. В таком треугольнике стороны $a$ и $b$ (прилежащие к прямому углу) являются катетами, а сторона $c$ (противолежащая прямому углу) — гипотенузой.

Начнем с доказанного выше равенства (теоремы косинусов):

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma$

Подставим в эту формулу значение нашего угла $\gamma = 90^\circ$. Значение косинуса прямого угла равно нулю:

$\cos(90^\circ) = 0$

Выполним подстановку в формулу теоремы косинусов:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(90^\circ)$

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot 0$

$c^2 = a^2 + b^2$

Полученное равенство $c^2 = a^2 + b^2$ в точности совпадает с формулировкой теоремы Пифагора. Таким образом, теорема Пифагора доказана как следствие теоремы косинусов.

Ответ: При подстановке в теорему косинусов $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma$ значения прямого угла $\gamma = 90^\circ$, для которого $\cos(90^\circ) = 0$, получается равенство $c^2 = a^2 + b^2$, что и является теоремой Пифагора.