Номер 1.91, страница 43 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.91. Покажите, что сумма квадратов медиан треугольника равна $\frac{3}{4}$ суммы квадратов его сторон.

Для доказательства воспользуемся формулой для вычисления длины медианы треугольника через длины его сторон. Пусть дан треугольник $ABC$ со сторонами $a$, $b$ и $c$, где $a = BC$, $b = AC$ и $c = AB$. Медианы, проведенные к этим сторонам, обозначим соответственно $m_a$, $m_b$ и $m_c$.

Длина медианы, проведенной к стороне $a$, вычисляется по формуле (следствие из теоремы Аполлония):

$m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}$

Аналогично запишем формулы для двух других медиан:

$m_b^2 = \frac{2a^2 + 2c^2 - b^2}{4}$

$m_c^2 = \frac{2a^2 + 2b^2 - c^2}{4}$

Теперь найдем сумму квадратов длин всех трех медиан:

$m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4} + \frac{2a^2 + 2c^2 - b^2}{4} + \frac{2a^2 + 2b^2 - c^2}{4}$

Сложим дроби, приведя их к общему знаменателю 4:

$m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac{(2b^2 + 2c^2 - a^2) + (2a^2 + 2c^2 - b^2) + (2a^2 + 2b^2 - c^2)}{4}$

Сгруппируем слагаемые в числителе:

$m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac{(-a^2 + 2a^2 + 2a^2) + (2b^2 - b^2 + 2b^2) + (2c^2 + 2c^2 - c^2)}{4}$

Упростим выражение в числителе:

$m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac{3a^2 + 3b^2 + 3c^2}{4}$

Вынесем общий множитель 3 за скобки в числителе:

$m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac{3(a^2 + b^2 + c^2)}{4}$

Это выражение можно записать в виде:

$m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac{3}{4}(a^2 + b^2 + c^2)$

Таким образом, мы показали, что сумма квадратов медиан треугольника ($m_a^2 + m_b^2 + m_c^2$) равна $\frac{3}{4}$ суммы квадратов его сторон ($a^2 + b^2 + c^2$), что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство приведено выше.