Номер 1.88, страница 43 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.88. Известно, что для действительных чисел $\alpha, \beta, \gamma$ выполняется равенство $(\alpha\beta)\gamma = \alpha(\beta\gamma)$. Выполняется ли аналогичное равенство для скалярного произведения векторов, т.е. выполняется ли равенство $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c})$ для любых векторов $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$?

Для ответа на этот вопрос необходимо проанализировать выражения в левой и правой частях предполагаемого равенства $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c})$.

Анализ левой части $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c}$

Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ является скаляром (числом). Обозначим это число как $k = \vec{a} \cdot \vec{b}$. Тогда выражение в левой части принимает вид $k \cdot \vec{c}$. Операция "скалярное произведение", обозначаемая точкой, определена для двух векторов. Операция скалярного произведения между скаляром $k$ и вектором $\vec{c}$ не определена. Следовательно, выражение в левой части некорректно с точки зрения стандартных определений векторной алгебры.

Анализ правой части $\vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c})$

Аналогично, скалярное произведение $\vec{b} \cdot \vec{c}$ является скаляром. Обозначим его $m = \vec{b} \cdot \vec{c}$. Тогда выражение в правой части приобретает вид $\vec{a} \cdot m$. Это также некорректное выражение, так как операция скалярного произведения не определена для вектора и скаляра.

Поскольку обе части равенства представляют собой математически неопределенные операции, само равенство не может считаться выполняющимся. Таким образом, свойство ассоциативности (сочетательности) для операции скалярного произведения не выполняется.

Рассмотрение альтернативной трактовки

Можно предположить, что в выражении имеется в виду не повторное скалярное произведение, а умножение вектора на скаляр, полученный в результате первого скалярного произведения. В этом случае равенство следует понимать как $(\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c} = \vec{a}(\vec{b} \cdot \vec{c})$. Проверим, выполняется ли это равенство для произвольных векторов.

Вектор в левой части, $(\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}$, является результатом умножения вектора $\vec{c}$ на скаляр $(\vec{a} \cdot \vec{b})$. Этот результирующий вектор коллинеарен вектору $\vec{c}$ (или является нулевым вектором). Вектор в правой части, $\vec{a}(\vec{b} \cdot \vec{c})$, коллинеарен вектору $\vec{a}$. Равенство векторов возможно, только если они имеют одинаковое направление и одинаковую длину. В общем случае, если векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$ не коллинеарны, равенство может выполняться только тогда, когда обе части равны нулевому вектору.

Чтобы доказать, что равенство не выполняется в общем случае, достаточно привести один контрпример. Возьмем в качестве базиса ортонормированные векторы $\vec{i}$ и $\vec{j}$ на плоскости. Пусть $\vec{a} = \vec{i}$, $\vec{b} = \vec{i}$ и $\vec{c} = \vec{j}$.

Найдем левую часть: $(\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c} = (\vec{i} \cdot \vec{i})\vec{j} = 1 \cdot \vec{j} = \vec{j}$.

Найдем правую часть: $\vec{a}(\vec{b} \cdot \vec{c}) = \vec{i}(\vec{i} \cdot \vec{j}) = \vec{i} \cdot 0 = \vec{0}$.

Так как $\vec{j} \neq \vec{0}$, то левая часть не равна правой. Это доказывает, что равенство не выполняется.

Ответ: Нет, равенство $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c})$ для скалярного произведения векторов не выполняется. Основная причина в том, что данные выражения математически не определены: результатом скалярного произведения $(\vec{a} \cdot \vec{b})$ является скаляр, а операция скалярного произведения скаляра и вектора $\vec{c}$ не существует. Если же трактовать данное выражение как $(\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c} = \vec{a}(\vec{b} \cdot \vec{c})$, где производится умножение вектора на скаляр, то это равенство также не выполняется в общем случае, так как вектор в левой части коллинеарен $\vec{c}$, а в правой — коллинеарен $\vec{a}$, что неверно для произвольных неколлинеарных векторов $\vec{a}$ и $\vec{c}$.